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已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，Sn=nan-n（n-1），n∈N*，令bn=1an•an+1，且数列{bn}的前项和为Tn．（1）求证：数列{an}为等差数列，并写出an关于n的表达式

题目简介

已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，Sn=nan-n（n-1），n∈N*，令bn=1an•an+1，且数列{bn}的前项和为Tn．（1）求证：数列{an}为等差数列，并写出an关于n的表达式

题目详情

已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，Sn=nan-n（n-1），n∈N*，令bn=
1
an•an+1
，且数列{bn}的前项和为Tn．
（1）求证：数列{an}为等差数列，并写出an关于n的表达式；
（2）若不等式λTn＜
n+8
5
（λ为常数）对任意正整数n均成立，求λ的取值范围；
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由Sn=nan-n（n-1），n∈N*①
则当n≥2时，Sn-1=（n-1）an-1-（n-1）（n-2）②
①-②，得an=[nan-n（n-1）]-[（n-1）an-1-（n-1）（n-2）]
整理得，an-an-1=2（n≥2）…（3分）
所以，{an}为等差数列，且公差为2，an=1+2（n-1）=2n-1；                     
（2）bn=class="stub"1
an•an+1
=class="stub"1
(2n-1)(2n+1)
=class="stub"1
2
(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=class="stub"1
2
[(1-class="stub"1
3
)+(class="stub"1
3
-class="stub"1
5
)+(class="stub"1
5
-class="stub"1
7
)+…+(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)]=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
2n+1
)=class="stub"n
2n+1

若不等式λTn＜class="stub"n+8
5
对任意正整数n均成立，则λ＜class="stub"1
5
•
(2n+1)(n+8)
n
=class="stub"1
5
[2(n+class="stub"4
n
)+17]对任意正整数n均成立，
∵n+class="stub"4
n
≥4，当且仅当n=2∈N*时取“=”，
∴class="stub"1
5
[2(n+class="stub"4
n
)+17]的最大值为5∴λ＜5；                                   
（3）假设存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列
则（Tm）2=T1•Tn，即(class="stub"m
2m+1
)2=class="stub"1
3
•class="stub"n
2n+1

所以，
m2
4m2+4m+1
=class="stub"n
6n+3

从而，
4m2+4m+1
m2
=class="stub"6n+3
n
=6+class="stub"3
n
＞6
所以，2m2-4m-1＜0，即1-
6
2
＜m＜1+
6
2

因为，m∈N*，且m＞1，∴m=2，此时，n=12
故，当且仅当m=2，n=12时，使得T1，Tm，Tn成等比数列．

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