首页 > 在数列{an}中a1=12，a2=15，且an+1=(n-1)ann-2an(n≥2)（1）求a3、a4，并求出数列{an}的通项公式；（2）设bn=an•an+1an+an+1，求证：对∀n∈N*，

在数列{an}中a1=12，a2=15，且an+1=(n-1)ann-2an(n≥2)（1）求a3、a4，并求出数列{an}的通项公式；（2）设bn=an•an+1an+an+1，求证：对∀n∈N*，

题目简介

在数列{an}中a1=12，a2=15，且an+1=(n-1)ann-2an(n≥2)（1）求a3、a4，并求出数列{an}的通项公式；（2）设bn=an•an+1an+an+1，求证：对∀n∈N*，

题目详情

在数列{an}中a1=
1
2
，a2=
1
5
，且an+1=
(n-1)an
n-2an
(n≥2)
（1）求a3、a4，并求出数列{an}的通项公式；
（2）设bn=
an•an+1
an
+
an+1
，求证：对∀n∈N*，都有b1+b2+…bn＜
3n-1
3
．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵a1=class="stub"1
2
，a2=class="stub"1
5
，an+1=
(n-1)an
n-2an
(n≥2)
∴a3=class="stub"1
8
，a4=class="stub"1
11
，
猜想an=class="stub"1
3n-1
，利用数学归纳法证明如下：
①显然当n=1，2，3，4时，结论成立；
②假设当n=k（k≥3）时，结论成立，即ak=class="stub"1
3k-1

则n=k+1时，ak+1=
(k-1)ak
k-2ak
=
(k-1)•class="stub"1
3k-1
k-2•class="stub"1
3k-1
=class="stub"k-1
(3k+2)(k-1)
=class="stub"1
3(k+1)-1

∴n=k+1时，结论成立
综上，an=class="stub"1
3n-1
；
（2）证明：bn=
an•an+1
an
+
an+1
=class="stub"1
3
（
3n+2
-
3n-1
）
∴b1+b2+…+bn=class="stub"1
3
[（
5
-
2
）+（
8
-
5
）+…+（
3n+2
-
3n-1
）]=class="stub"1
3
（
3n+2
-
2
）
要证b1+b2+…bn＜
3n-1
3
，只需证明class="stub"1
3
（
3n+2
-
2
）＜
3n-1
3

即证
3n+2
-
2
＜
3n-1

即证3n+2-2
6n+4
＜3n-1
即证
6n+4
＞class="stub"3
2
，显然成立
∴b1+b2+…+bn＜
3n-1
3
．

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