首页 > 设数列{an}的通项是关于x的不等式x2-x＜（2n-1）x（n∈N*）的解集中整数的个数．数列{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an；（Ⅱ）设m，k，p∈N*，m+p=2k，求证：1Sm+1Sp≥2

设数列{an}的通项是关于x的不等式x2-x＜（2n-1）x（n∈N*）的解集中整数的个数．数列{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an；（Ⅱ）设m，k，p∈N*，m+p=2k，求证：1Sm+1Sp≥2

题目简介

设数列{an}的通项是关于x的不等式x2-x＜（2n-1）x（n∈N*）的解集中整数的个数．数列{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an；（Ⅱ）设m，k，p∈N*，m+p=2k，求证：1Sm+1Sp≥2

题目详情

设数列{an}的通项是关于x的不等式x2-x＜（2n-1）x （n∈N*）的解集中整数的个数．数列{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an；
（Ⅱ）设m，k，p∈N*，m+p=2k，求证：
1
Sm
+
1
Sp
≥
2
Sk
；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）不等式x2-x＜（2n-1）x 即x（x-2n）＜0，解得：0＜x＜2n，其中整数有2n-1个，
故 an=2n-1．
（2）由（1）知Sn=
n(1+2n-1)
2
=n2，∴Sm=m2，Sp=p2，Sk=k2．
由class="stub"1
Sm
+class="stub"1
Sp
-class="stub"2
Sk
=class="stub"1
m2
+class="stub"1
p2
-class="stub"2
k2
=
k2(m2+p2)-2m2p2
m2p2k2
=
(class="stub"m+p
2
)2(m2+p2)-2m2p2
m2p2k2

≥
2mp•mp-2m2p2
m2p2k2
=0，
即class="stub"1
Sm
+class="stub"1
Sp
≥class="stub"2
Sk
．   
（3）结论成立，证明如下：
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则Sn=na1+
n(n-1)
2
d=
n(a1+an)
2
，
∵Sm+Sp-2Sk=ma1+
m(m-1)
2
d+pa1+
p(p-1)
2
d-[2ka1+k(k-1)d]=(m+p)a1+
m2+p2-(m+p)
2
d-[2ka1+(k2-k)d]，
把m+p=2k代入上式化简得Sm+Sp-2Sk=
m2+p2-2×(class="stub"m+p
2
)2
2
•d=
(m-p)2d
4
≥0，…16分．
∴Sm+Sp≥2Sk．
又 Sm•Sp =
mp(a1+am)(a1+ap)
4
=
mp[  a12+2 a1 (am+ap)+amap]
4
 
≤
(class="stub"m+p
2
)2[a12+2a1ak+(
am+ak
2
)2]
4
=
k2(a1+ak)2
4
=(
sk
2
)2．
∴class="stub"1
Sm
+class="stub"1
Sp
=
sm+sk
smsp
≥
2sk
(
sk
2
)2
=class="stub"2
sk
，故 class="stub"1
Sm
+class="stub"1
Sp
≥class="stub"2
Sk
 成立．

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