设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，S10＞0，S13＜0．（1）求公差d的取值范围；（2）若公差d∈Z，Sn为{an}的前n项和，Tn=12n+75n，求证：对任意n∈N*，Sn＜T

题目简介

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=12，S₁₀＞0，S₁₃＜0．
（1）求公差d的取值范围；
（2）若公差d∈Z，S_n为{a_n}的前n项和，Tn=12n+

，求证：对任意n∈N^*，S_n＜T_n．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）∵等差数列{an}中，a3=12，S10＞0，S13＜0，
∴

a1+2d=12

10a1+class="stub"10×9

d＞0

13a1+class="stub"13×12

d＜0

，
解得-class="stub"24

＜d＜-3，
∴公差d的取值范围是（-class="stub"24

，-3）．
（2）∵-class="stub"24

＜d＜-3，d∈Z，
∴d=-4，
∵a1+2d=12，
∴a1=20，
∴Sn=20n+

n(n-1)

×(-4)=-2n2+22n=-2（n-class="stub"11

）2+class="stub"121

，
∴n=5或n=6时，
（Sn）max=60，
又Tn=12n+class="stub"75

≥2

12n•class="stub"75

=60，
即（Tn）min＞60，
∴Sn＜Tn．