已知函数f(x)=kx+m,当x∈[a1,b1]时,f(x)的值域为[a2,b2],当x∈[a2,b2]时,f(x)的值域为[a3,b3],依此类推,一般地,当x∈[an-1,bn-1]时,f(x)的

题目简介

已知函数f(x)=kx+m,当x∈[a1,b1]时,f(x)的值域为[a2,b2],当x∈[a2,b2]时,f(x)的值域为[a3,b3],依此类推,一般地,当x∈[an-1,bn-1]时,f(x)的

题目详情

已知函数f(x)=kx+m,当x∈[a1,b1]时,f(x)的值域为[a2,b2],当x∈[a2,b2]时,f(x)的值域为[a3,b3],依此类推,一般地,当x∈[an-1,bn-1]时,f(x)的值域为[an,bn],其中k、m为常数,且a1=0,b1=1.
(1)若k=1,求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)项m=2,问是否存在常数k>0,使得数列{bn}满足
lim
n→∞
bn=4?
若存在,求k的值;若不存在,请说明理由;
(3)若k<0,设数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,求T2010-S2010
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)因为f(x)=x+m,当x∈[an-1,bn-1]时,f(x)为单调增函数,
所以其值域为[an-1+m,bn-1+m]…(2分)
于是an=an-1+m,bn=bn-1+m(n∈N*,n≥2)…(4分)
又a1=0,b1=1,所以an=(n-1)m,bn=1+(n-1)m.…(6分)
(2)因为f(x)=x+mf(x)=kx+m(k>0),当x∈[an-1,bn-1]时,f(x)为单调增函数
所以f(x)的值域为[kan-1+m,kbn-1+m],因m=2,则bn=kbn-1+2(n≥2)…(8分)
法一:假设存在常数k>0,使得数列{bn}满足
lim
n→∞
bn=4,则
lim
n→∞
bn=k
lim
n→∞
bn-1+2
,得4=4k+2,则k=class="stub"1
2
符合.…(12分)
法二:假设存在常数k>0,使得数列{bn}满足
lim
n→∞
bn=4

当k=1不符合.…(9分)
k≠1时,bn=kbn-1+2(n≥2)⇔bn+class="stub"2
k-1
=k(bn-1+class="stub"2
k-1
)(n≥2)

bn=(1+class="stub"2
k-1
)kn-1-class="stub"2
k-1
,…(11分)
0<k<1时,
lim
n→∞
bn=class="stub"2
1-k
=4,得k=class="stub"1
2
符合
.…(12分)
(3)因为k<0,当x∈[an-1,bn-1]时,f(x)为单调减函数,
所以f(x)的值域为[kbn-1+m,kan-1+m]…(14分)
于是an=kbn-1+m,bn=kan-1+m(n∈N*,n≥2)
则bn-an=-k(bn-1-an-1)…(16分)
又b1-a1=1
则有T2010-S2010=
2010,(k=-1)
1-k2010
1+k)
,(k<0,k≠-1)
…(18分)

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