数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn与an之间满足an=2S2n2Sn-1(n≥2).(1)求证:数列{1Sn}的通项公式;(2)设存在正数k,使(1+S1)(1+S2)..(1+Sn)≥k2n+

题目简介

数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn与an之间满足an=2S2n2Sn-1(n≥2).(1)求证:数列{1Sn}的通项公式;(2)设存在正数k,使(1+S1)(1+S2)..(1+Sn)≥k2n+

题目详情

数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn与an之间满足an=
2
S2n
2Sn-1
(n≥2).
(1)求证:数列{
1
Sn
}的通项公式;
(2)设存在正数k,使(1+S1)(1+S2)..(1+Sn≥k
2n+1
对一切n∈N×都成立,求k的最大值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)证明:∵n≥2时,an=Sn-Sn-1(1分)
∴Sn-Sn-1=
2S2n
2Sn-1
,∴(Sn-Sn-1)(2Sn-1)=2Sn2,
∴=Sn-1-Sn=2SnSn-1(3分)
class="stub"1
Sn
-class="stub"1
Sn-1
=2(n≥2),(5分)
数列{class="stub"1
Sn
}是以class="stub"1
S1
=1为首项,以2为公差的等差数列.(6分)
(2)由(1)知class="stub"1
Sn
=1+(n-1)×2=2n-1

Sn=class="stub"1
2n-1
,∴Sn+1=class="stub"1
2n+1
(7分)
设F(n)=
(1+S1)(1+S2)…(1+Sn)  
2n+1

F(n+1)
F(n)
=
(1+Sn+1)
2n+1
2n+3

=class="stub"2n+2
(2n+1)(2n+3)

=
4n2+8n+4
4n2+8n+3
>1
(10分)
∴F(n)在n∈N*上递增,要使F(n)≥k恒成立,只需[F(n)]min≥k
∵[F(n)]min=F(1)=class="stub"2
3
3
,∴0<k≤class="stub"2
3
3
,kmax=class="stub"2
3
3
.(12分)

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