首页 > 已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．令bn=4a2n+1-1（n∈N*），记数列{bn}的前n项和为Tn，对任意的n∈N*，不等式Tn＜m100恒成立，则实

已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．令bn=4a2n+1-1（n∈N*），记数列{bn}的前n项和为Tn，对任意的n∈N*，不等式Tn＜m100恒成立，则实

题目简介

已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．令bn=4a2n+1-1（n∈N*），记数列{bn}的前n项和为Tn，对任意的n∈N*，不等式Tn＜m100恒成立，则实

题目详情

已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．令bn=
4
a2n+1
-1
（n∈N*），记数列{bn}的前n项和为Tn，对任意的n∈N*，不等式Tn＜
m
100
恒成立，则实数m的最小值是______．
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则由a3a6=55，a2+a7=16，得：
(a1+2d)(a1+5d)=55
(a1+d)+(a1+6d)=16
，
即
(a1+2d)(a1+5d)=55①
2a1+7d=16             ②
，由②得：a1=class="stub"16-7d
2
③
把③代入①得：d2=4，所以d=-2或d=2．
因为{an}的公差大于0，所以，d=2，
则a1=class="stub"16-7×2
2
=1．
所以，an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
则an+1=2（n+1）-1=2n+1．
所以，bn=class="stub"4
an+12-1
=class="stub"4
(2n+1)2-1
=class="stub"4
4n(n+1)
=class="stub"1
n(n+1)
=class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
．
则Tn=b1+b2+b3+…+bn
=(1-class="stub"1
2
)+(class="stub"1
2
-class="stub"1
3
)+(class="stub"1
3
-class="stub"1
4
)+…+(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
)
=1-class="stub"1
n+1
=class="stub"n
n+1
．
由Tn＜class="stub"m
100
对任意n∈N*恒成立，
得class="stub"n
n+1
＜class="stub"m
100
恒成立，
即m＞class="stub"100n
n+1
=class="stub"100
1+class="stub"1
n
对任意n∈N*恒成立，
所以，m≥100．
则实数m的最小值为100．
故答案为100．

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