我们把数列{ank}叫做数列{an}的k方数列（其中an＞0，k，n是正整数），S（k，n）表示k方数列的前n项的和．（1）比较S（1，2）•S（3，2）与[S（2，2）]2的大小；（2）若数列{an

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我们把数列{a_n^k}叫做数列{a_n}的k方数列（其中a_n＞0，k，n是正整数），S（k，n）表示k方数列的前n项的和．
（1）比较S（1，2）•S（3，2）与[S（2，2）]²的大小；
（2）若数列{a_n}的1方数列、2方数列都是等差数列，a₁=a，求数列{a_n}的k方数列通项公式．
（3）对于常数数列a_n=1，具有关于S（k，n）的恒等式如：S（1，n）=S（2，n），S（2，n）=S（3，n）等等，请你对数列{a_n}的k方数列进行研究，写出一个不是常数数列{a_n}的k方数列关于S（k，n）的恒等式，并给出证明过程．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）S（1，2）=a1+a2，S（3，2）=a13+a23，S（2，2）=a12+a22…（2分）
∴S（1，2）•S（3，2）-[S（2，2）]2
=（a1+a2）（a13+a23）-（a12+a22）2…（4分）
=a1a23+a2a13-2a12a22
=a1a2（a1-a2）2
∵an＞0，，∴S（1，2）•S（3，2）≥[S（2，2）]2…（5分）
（2）设an-an-1=d，an2-an-12=p…（7分）
则 d（an+an-1）=p…①d（an+1+an）=p…②
∴②-①得 2d2=0，∴d=p=0 …（9分）an=an-1，∴ank-an-1k=0
∴ank=ak…（11分）
（3）当an=n时，恒等式为[S（1，n）]2=S（3，n） …（15分）
证明：[S（1，n）]2=S（3，n）[S（1，n-1）]2=S（3，n-1），（n≥2，n∈N*）
相减得：an[S（1，n）+S（1，n-1）]=an3
∴[S（1，n）+S（1，n-1）]=an2[S（1，n-1）+S（1，n-2）]=an-12
相减得：an+an-1=an2-an-12，，an＞0an-an-1=1，，a1=1
∴an=n…（18分）

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我们把数列{ank}叫做数列{an}的k方数列（其中an＞0，k，n是正整数），S（k，n）表示k方数列的前n项的和．（1）比较S（1，2）•S（3，2）与[S（2，2）]2的大小；（2）若数列{an

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