首页 > 数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2（an-1），数列{bn}中，b1=1，且点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）设Hn=1b1b2+

数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2（an-1），数列{bn}中，b1=1，且点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）设Hn=1b1b2+

题目简介

数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2（an-1），数列{bn}中，b1=1，且点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）设Hn=1b1b2+

题目详情

数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2（an-1），数列{bn}中，b1=1，且点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）设Hn=
1
b1b2
+
1
b2b3
+…+
1
bn-1bn
，求使得Hn＜
m
30
对所有的n∈N*都成立的最小正整数m；
（3）设Tn=
b1
a1
+
b2
a2
+…+
bn
an
，试比较Tn与3的大小关系．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵Sn=2（an-1），∴Sn+1=2（an+1-1）
两式相减得：an+1=2an+1-2an⇒
an+1
an
=2，又∵a1=2
∴{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴an=2n
又P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，
∴bn-bn+1+2=0⇒bn+1-bn=2，
又∵b1=1，∴}、{bn}是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴bn=2n-1
（2）class="stub"1
bn-1bn
=class="stub"1
(2n-3)(2n-1)
=class="stub"1
2
(class="stub"1
2n-3
-class="stub"1
2n-1
)
∴Hn=class="stub"1
b1b2
+class="stub"1
b2b3
+…+class="stub"1
bn-1bn
=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
2n-1
)
要使class="stub"1
2
(1-class="stub"1
2n-1
)＜class="stub"m
30
所有的n∈N*都成立，必须且仅需满足class="stub"1
2
≤class="stub"m
30
⇒m≥15
所以满足要求的最小正整数为15，
（3）Tn=class="stub"1
2
+class="stub"3
22
+class="stub"5
23
+…+class="stub"2n-1
2n
class="stub"1
2
Tn=class="stub"1
22
+class="stub"3
23
+class="stub"5
24
+…+class="stub"2n-1
2n+1

相减得：class="stub"1
2
Tn=class="stub"1
2
+(class="stub"1
2
+class="stub"1
22
+…+class="stub"1
2n-1
)-class="stub"2n-1
2n+1

化简得Tn=3-class="stub"1
2n-2
-class="stub"2n-1
2n
＜3
所以Tn＜3

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网