数列{an}的前n项和为Sn，当n≥1时，Sn+1是an+1与Sn+1+2的等比中项．（Ⅰ）求证：当n≥1时，1Sn-1Sn+1=12；（Ⅱ）设a1=-1，求Sn的表达式；（Ⅲ）设a1=-1，且{n(

题目简介

数列{a_n}的前n项和为S_n，当n≥1时，S_n+1是a_n+1与S_n+1+2的等比中项．
（Ⅰ）求证：当n≥1时，

Sn+1

；
（Ⅱ）设a₁=-1，求S_n的表达式；
（Ⅲ）设a₁=-1，且{

(pn+q)Sn

}是等差数列（pq≠0），求证：

是常数．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）证明：由题意得，当n≥1时，

2n+1

=an+1(Sn+1+2)=(Sn+1-Sn)(Sn+1+2)
⇒class="stub"1

-class="stub"1

Sn+1

=class="stub"1

．…（4分）
（2）由（1）得：class="stub"1

Sn+1

-class="stub"1

=-class="stub"1

及a1=-1
可知：数列{class="stub"1

}是以-1为首项，以-class="stub"1

为公差的等差数列，
可求得：Sn=-class="stub"2

n+1

．…（8分）
（3）由（2）得Cn=-

n2+n

2(pn+q)

，且{Cn}是等差数列，设公差为d．
则-n2-n=…=2dpn2+[2dq+2p（c1-d）]n+2q（c1-d），
所以c1-d=0，2dp=-1，2dq+2p（c1-d）=-1，即2dp=2dq⇒p=q，
所以class="stub"p

=1（常数）．…（13分）