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已知正数列{an}的前n项和为Sn，且有Sn=14(an+1)2，数列{bn}是首项为1，公比为12的等比数列．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）若c=anbn，求：数列{cn}的前n项

题目简介

已知正数列{an}的前n项和为Sn，且有Sn=14(an+1)2，数列{bn}是首项为1，公比为12的等比数列．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）若c=anbn，求：数列{cn}的前n项

题目详情

已知正数列{an}的前n项和为Sn，且有Sn=
1
4
(an+1)2，数列{bn}是首项为1，公比为
1
2
的等比数列．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）若c=anbn，求：数列{cn}的前n项和Tn；
（3）求证：
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
＜
5
3
．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由Sn=class="stub"1
4
(an+1)2，
当n=1时，a1=class="stub"1
4
(a1+1)2，∴a1=1，
当n≥2时，Sn-1=class="stub"1
4
(an-1+1)2，
∴an=Sn-Sn-1=class="stub"1
4
(
a2n
-
a2n-1
+2an-2an-1)，
即（an+an+1）（an-an-1-2）=0，∵an＞0，
∴数列{an}是a1=1，d=2的等差数列
∴an=a1+（n-1）d=2n-1．
∵数列{bn}是首项为1，公比为class="stub"1
2
的等比数列．
∴bn=b1qn-1=1×(class="stub"1
2
)n-1=(class="stub"1
2
)n-1．
（2）cn=anbn=class="stub"2n-1
2n-1
，Tn=c1+c2+…+cn
Tn=1+class="stub"3
2
+class="stub"5
22
+…+class="stub"2n-1
2n-1
，①
class="stub"1
2
Tn=class="stub"1
2
+class="stub"3
22
+…+class="stub"2n-3
2n-1
+class="stub"2n-1
2n
，②
①-②得class="stub"1
2
Tn=1+1+class="stub"1
2
+class="stub"1
22
+…+class="stub"1
2n-2
-class="stub"2n-1
2n
=
2(1-(class="stub"1
2
)n)
1-class="stub"1
2
-1-class="stub"2n-1
2n
=3-class="stub"1
2n-2
-class="stub"2n-1
2n
，
∴Tn=6-class="stub"2n+3
2n-1

（3）∵Sn=class="stub"1
4
(an+1)2=class="stub"1
4
(2n-1+1)2=n2，
当n≥2，class="stub"1
Sn
=class="stub"1
n2
＜class="stub"1
n2-1
=class="stub"1
2
(class="stub"1
n-1
-class="stub"1
n+1
)，
∴class="stub"1
S1
+class="stub"1
S2
+…+class="stub"1
Sn
＜1+class="stub"1
22
+class="stub"1
2
[(class="stub"1
2
-class="stub"1
4
)+(class="stub"1
3
-class="stub"1
5
)+…+(class="stub"1
n-2
-class="stub"1
n
)+(class="stub"1
n-1
-class="stub"1
n+1
)]
=1+class="stub"1
4
+class="stub"1
2
(class="stub"1
2
+class="stub"1
3
-class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
)＜1+class="stub"1
4
+class="stub"1
2
(class="stub"1
2
+class="stub"1
3
)=1+class="stub"1
4
+class="stub"1
4
+class="stub"1
6
=class="stub"5
3
．

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