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已知函数f(x)=log2x-log12x，数列{an}的前n项和为Sn，f(2an)=6n-92，n∈N*．（I）求数列{an}的通项公式；（II）设bn=Snn+λ，cn=bn•2bn，若非零常数

题目简介

已知函数f(x)=log2x-log12x，数列{an}的前n项和为Sn，f(2an)=6n-92，n∈N*．（I）求数列{an}的通项公式；（II）设bn=Snn+λ，cn=bn•2bn，若非零常数

题目详情

已知函数f(x)=log2
x
-log
1
2
x，数列{an}的前n项和为Sn，f(2an)=6n-
9
2
，n∈N*．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）设bn=
Sn
n+λ
，cn=bn•2bn，若非零常数λ使得{bn}为等差数列，求数列{cn}的前n项和Tn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）∵f(x)=log2
x
-logclass="stub"1
2
x=log2xclass="stub"1
2
+log2x=class="stub"1
2
log2x+log2x=class="stub"3
2
log2x
∴f(2an)=6n-class="stub"9
2
=class="stub"3
2
log2(2an)=class="stub"3
2
an，
故an=4n-3
（II）由（I）得Sn=2n2-n，要使bn=
Sn
n+λ
=
2n(n-class="stub"1
2
)
n+λ
为等差数列的通项公式
则bn=
2n(n-class="stub"1
2
)
n+λ
应是关于n的一次函数，又由λ≠0
故λ=-class="stub"1
2

此时bn=2n，cn=bn•2bn=2n•4n，
故Tn=2•41+2×2•42+…+2（n-1）•4n-1+2n•4n，…①
4Tn=0+2•42+4•43+…+2（n-1）•4n+2n•4n+1，…②
①-②得：
-3Tn=2•41+2•42+…+2•4n-2n•4n+1=（class="stub"2
3
-2n）4n+1-class="stub"8
3

∴Tn=（class="stub"2
3
n-class="stub"2
9
）4n+1+class="stub"8
9

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