等差数列{an}中,a3=3,a1+a7=8.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若bn=1an•an+1,证明:数列{bn}的前n项和Sn<1.-数学

题目简介

等差数列{an}中,a3=3,a1+a7=8.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若bn=1an•an+1,证明:数列{bn}的前n项和Sn<1.-数学

题目详情

等差数列{an}中,a3=3,a1+a7=8.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若bn=
1
anan+1
,证明:数列{bn}的前n项和Sn<1.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(I)设等差数列{an}的公差为d,由a3=3,a1+a7=8可得
a1+2d=3
2a1+6d=8
,解得
a1=1
d=1

∴an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×1=n.
(II)证明:由(I)可知:an=n,
bn=class="stub"1
anan+1
=class="stub"1
n(n+1)
=class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1

∴Sn=(1-class="stub"1
2
)+(class="stub"1
2
-class="stub"1
3
)+
…+(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
)
=1-class="stub"1
n+1
<1

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