已知数列{an}的前n项和Sn=12n(n-1),且an是bn与1的等差中项.(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式;(2)若cn=1nan(n≥2),求c2+c3+c4+…+cn;(3)若f(

题目简介

已知数列{an}的前n项和Sn=12n(n-1),且an是bn与1的等差中项.(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式;(2)若cn=1nan(n≥2),求c2+c3+c4+…+cn;(3)若f(

题目详情

已知数列{an}的前n项和Sn=
1
2
n(n-1)
,且an是bn与1的等差中项.
(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式;
(2)若cn=
1
nan
(n≥2)
,求c2+c3+c4+…+cn
(3)若f(n)=
an,n=2k-1
bn,n=2k
(k∈N*)
,是否存在n∈N*使得f(n+11)=2f(n),并说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=class="stub"1
2
n(n-1)-class="stub"1
2
(n-1)(n-2)=n-1,
把n=1代入验证,满足通项公式,
则an=n-1,又an是bn与1的等差中项,
则bn=2an-1=2(n-1)-1=2n-3;
(2)因为an=n-1,
所以cn=class="stub"1
n(n-1)
=class="stub"1
n-1
-class="stub"1
n
(n≥2)

则c2+c3+c4+…+cn=1-class="stub"1
2
+class="stub"1
2
-class="stub"1
3
+class="stub"1
3
-class="stub"1
4
…+class="stub"1
n-1
-class="stub"1
n
=1-class="stub"1
n

(3)不存在,理由为:
当n是奇数时,n+11为偶数,
此时f(n)=an=n-1,f(n+11)=bn+11=2n+19,
由f(n+11)=2f(n)知无解;
当n是偶数时,n+11为奇数,
此时f(n)=bn=2n-3,f(n+11)=an+11=n+10,
由f(n+11)=2f(n)知无解,
所以满足题意的n不存在.

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