设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=n2+n，数列{bn}的通项公式为bn=xn-1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设cn=anbn，数列{cn}的前n项和为Tn．①求Tn；②若x=2，求数

题目简介

设数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=n²+n，数列{b_n}的通项公式为b_n=x^n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_nb_n，数列{c_n}的前n项和为T_n．
①求T_n；
②若x=2，求数列{

nTn+1-2n

Tn+2-2

}的最小项的值．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）an=

S1，n=1

Sn-Sn-1，n≥2

2，n=1

2n，n≥2

=2n．（2分）
（2）cn=2nxn-1，
Tn=2+4x+6x2+8x3+…+2nxn-1，①
则xTn=2x+4x2+6x3+8x4+…+2nxn，②
①-②，得（1-x）Tn=2+2x+2x2+…+2xn-1-2nxn，
当x≠1时，（1-x）Tn=2×

1-xn

1-x

-2nxn，
Tn=

2-2(n+1)xn+2nxn+1

(1-x)2

，（5分）
当x=1时，Tn=2+4+6+8+…+2n=n2+n．（6分）

（3）当x=2时，Tn=2+（n-1）2n+1．
则

nTn+1-2n

Tn+2-2

2(n+1)

．（7分）
设f（n）=

2(n+1)

．
因为f（n+1）-f（n）=

(n+1)2

2(n+2)

2(n+1)

n2+3n+1

2(n+1)(n+2)

＞0，（10分）
所以函数f（n）在n∈N+上是单调增函数．（11分）
所以n=1时，f（n）取最小值class="stub"1

，即数列{

nTn+1-2n

Tn+2-2

}的最小项的值为class="stub"1

．（12分）