首页 > 已知数列{an}的前n项和为Sn，并且满足a1=2，nan+1=Sn+n（n+1），（1）求{an}的通项公式；（2）令Tn=(45)nSn，问是否存在正整数m，对一切正整数n，总有Tn≤Tm，若存在

已知数列{an}的前n项和为Sn，并且满足a1=2，nan+1=Sn+n（n+1），（1）求{an}的通项公式；（2）令Tn=(45)nSn，问是否存在正整数m，对一切正整数n，总有Tn≤Tm，若存在

题目简介

已知数列{an}的前n项和为Sn，并且满足a1=2，nan+1=Sn+n（n+1），（1）求{an}的通项公式；（2）令Tn=(45)nSn，问是否存在正整数m，对一切正整数n，总有Tn≤Tm，若存在

题目详情

已知数列{an}的前n项和为Sn，并且满足a1=2，nan+1=Sn+n（n+1），
（1）求{an}的通项公式；
（2）令Tn=(
4
5
)nSn，问是否存在正整数m，对一切正整数n，总有Tn≤Tm，若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）令n=1，由a1=2及nan+1=Sn+n（n+1）①
得a2=4，故a2-a1=2，当n≥2时，有（n-1）an=Sn-1+n（n-1）②
①-②得：nan+1-（n-1）an=an+2n
整理得，an+1-an=2（n≥2）
当n=1时，a2-a1=2，
所以数列{an}是以2为首项，以2为公差的等差数列，
故an=2n…（6分）
（2）由（1）得Sn=n（n+1），
所以Tn=(class="stub"4
5
)nSn=(class="stub"4
5
)n(n2+n)．
故Tn-1=(class="stub"4
5
)n-1[(n-1)2+(n-1)]，Tn+1=(class="stub"4
5
)n+1[(n+1)2+(n+1)]，
令
Tn≥Tn-1
Tn≥Tn+1
，即
(class="stub"4
5
)n(n2+n)≥(class="stub"4
5
)n-1[(n-1)2+(n-1)]
(class="stub"4
5
)n(n2+n)≥(class="stub"4
5
)n+1[(n+1)2+(n+1)]

解得8≤n≤9．
故T1＜T2＜…＜T8=T9＞T10＞T11＞…
故存在正整数m对一切正整数n，
总有Tn≤Tm，此时m=8或m=9…..（13分）

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