已知分别以d1,d2为公差的等差数列{an},{bn},满足a1=1,b2009=409.(Ⅰ)若d1=1,且存在正整数m,使得am2=bm+2009-2009,求d2的最小值;(Ⅱ)若ak=0,bk

题目简介

已知分别以d1,d2为公差的等差数列{an},{bn},满足a1=1,b2009=409.(Ⅰ)若d1=1,且存在正整数m,使得am2=bm+2009-2009,求d2的最小值;(Ⅱ)若ak=0,bk

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已知分别以d1,d2为公差的等差数列{an},{bn},满足a1=1,b2009=409.
(Ⅰ)若d1=1,且存在正整数m,使得am2=bm+2009-2009,求d2的最小值;
(Ⅱ)若ak=0,bk=1600且数列a1,a2,…ak-1,bk,bk+1,bk+2…,b2009,的前项n和Sn满足S2009=2012Sk+9045,求{an}的通项公式.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

证明:(Ⅰ)∵am2=bm+2009-2009,
∴[a1+(m-1)d1]2=b2009+md2-2009,
即m2=409+md2-2009,
d2=m+class="stub"1600
m
≥2
m•class="stub"1600
m
=80

等号当且仅当m=class="stub"1600
m

即m=40时成立,
故m=40时,[d2]min=80.
(Ⅱ)∵ak=0,bk=1600,a1=1,b2009=409
∴S2009=(a1+a2+…+ak-1)+(bk+bk+1+…+b2009)
=
(a1+ak-1)k
2
+
(bk+b2009)(2009-k+1)
2

=class="stub"k
2
+
2009(2010-k)
2

∵S2009=2012Sk+9045
=2012
(a1+ak)k
2
+9045
=2012class="stub"k
2
+9045

2012•class="stub"k
2
+9045
=class="stub"k
2
+
2009(2010-k)
2

∴4020k=2009×2010-18090,
∴2k=2009-9,
∴k=1000
故得a1000=0,又a1=1,∴d1=-class="stub"1
999

an=a1+(n-1)d2=class="stub"1000
999
-class="stub"1
999
n

因此{an}的通项公式为an=class="stub"1000
999
-class="stub"1
999
n

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