首页 > 设函数f（x）=14x2+bx-34．已知不论α，β为何实数，恒有f（cosα）≤0，f（2-sinβ）≥0．对于正项数列{an}，其前n项和为Sn=f（an）n∈N*．（1）求实数b；（2）求数列{

设函数f（x）=14x2+bx-34．已知不论α，β为何实数，恒有f（cosα）≤0，f（2-sinβ）≥0．对于正项数列{an}，其前n项和为Sn=f（an）n∈N*．（1）求实数b；（2）求数列{

题目简介

设函数f（x）=14x2+bx-34．已知不论α，β为何实数，恒有f（cosα）≤0，f（2-sinβ）≥0．对于正项数列{an}，其前n项和为Sn=f（an）n∈N*．（1）求实数b；（2）求数列{

题目详情

设函数f（x）=
1
4
x2+bx-
3
4
．已知不论α，β为何实数，恒有f（cosα）≤0，f（2-sinβ）≥0．对于正项数列{an}，其前n项和为Sn=f（an）n∈N*．
（1）求实数b；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）若Cn=
1
(1+an)2
(n∈N+)且数列{Cn}的前n项和为Tn，比较Tn与
1
6
的大小，并说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵cosα∈[-1，1]，sinβ∈[-1，1]，2-sinβ∈[1，3]
不论α、β为何实数恒有  f（cosα）≤0，f（2-sinβ）≥0
即对x∈[-1，1]有f（x）≤0对x∈[1，3]有f（x）≥0
∴x=1时f（1）=0
（2）∵Sn=f(an)=class="stub"1
4
a2n
+class="stub"1
2
an-class="stub"3
4
⇒Sn-1=class="stub"1
4
a2n-1
+class="stub"1
2
an-1-class="stub"3
4

∴n≥2时Sn-Sn-1=an=class="stub"1
4
(
a2n
-
a2n-1
)+class="stub"1
2
(an-an+1)
∴（an+an-1）（an-an-1-2）=0∵an＞0∴an-an-1=2
∴{an}是首项为a，公差为2的等数列
由a1=S1代入方程a1=class="stub"1
4
a21
+class="stub"1
2
a1-class="stub"3
4
⇒
a21
-2a1-3=0
∴a1=3∴an=3+2（n-1）=2n+1
（3）∵Cn=class="stub"1
(1+2n+1)2
=class="stub"1
(2n+2)2
＜class="stub"1
(2n+2)2-1
=class="stub"1
2
(class="stub"1
2n+1
-class="stub"1
2n+3
)
∴Tn=C1+C2+…+Cn＜class="stub"1
2
[class="stub"1
3
-class="stub"1
5
+class="stub"1
5
-class="stub"1
7
+…+class="stub"1
2n+1
-class="stub"1
2n+3
]=class="stub"1
2
(class="stub"1
3
-class="stub"1
2n+3
)=class="stub"1
6
-class="stub"1
2(2n+3)
＜class="stub"1
6

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