设Sn是正项数列{an的前n项和,且Sn=14an2+12an-34.(1)求数列{an}的通项公式;(2)是否存在等比数列{bn},使a1b1+a2b2+…+anbn=(2n-1)•2n+1+2对一

题目简介

设Sn是正项数列{an的前n项和,且Sn=14an2+12an-34.(1)求数列{an}的通项公式;(2)是否存在等比数列{bn},使a1b1+a2b2+…+anbn=(2n-1)•2n+1+2对一

题目详情

设Sn是正项数列{an的前n项和,且Sn=
1
4
an2+
1
2
an-
3
4

(1)求数列{an}的通项公式;
(2)是否存在等比数列{bn},使 a1b1+a2b2+…+anbn=(2n-1)•2n+1+2 对一切正整数n都成立?并证明你的结论.
(3)设
Cn
=
1
1+an
(n∈N*)
,且数列{Cn}的前n项和为Tn,试比较与
1
6
的大小.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由Sn=class="stub"1
4
an2
+class="stub"1
2
an-class="stub"3
4
  得Sn+1=class="stub"1
4
an+12+class="stub"1
2
an+1-class="stub"3
4

  相减并整理得 (an+1+an)(an+1-an-2)=0
  又由于an+1+an>0,则an+1=an+2,故{an}是等差数列.
a1=S1=class="stub"1
4
a12
+class="stub"1
2
a12-class="stub"3
4
>0
,所以a1=3
    故an=2n+1                                …4分
(2)当n=1,2时,a1b1=22(2×1-1)+2=6,
a1b1+a2b2=23(2×2-1)+2=26,可解得b1=2,b2=4,猜想bn=2n,使a1b1+a2b2+…
+anbn=2n+1(2n-1)+2成立.
证明:3•2+5•22+7•23+…+(2n+1)2n=2n+1(2n-1)+2恒成立.
令S=3•2+5•22+7•23+…+(2n+1)2n   ①
2S=3•22+5•23+7•24+…+(2n+1)2n+1 ②
②-①得:S=(2n+1)2n+1-2•2n+1+2=(2n-1)2n+1+2,
故存在等比数列{bn}符合题意…8分
(3)Cn=class="stub"1
(2n+2)2
class="stub"1
(2n+1)(2n+3)
=class="stub"1
2
class="stub"1
2n+1
-class="stub"1
2n+3

则Tn=c1+c2+…+cn<class="stub"1
2
class="stub"1
3
-class="stub"1
5
+class="stub"1
5
-class="stub"1
7
+…+class="stub"1
2n+1
-class="stub"1
2n+3
)=class="stub"1
2
class="stub"1
3
-class="stub"1
2n+3
)<class="stub"1
6

Tn<class="stub"1
6
…12分

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