首页 > 设正数数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，Sn是an2和an的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）在集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}中，是否存在正整

设正数数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，Sn是an2和an的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）在集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}中，是否存在正整

题目简介

设正数数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，Sn是an2和an的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）在集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}中，是否存在正整

题目详情

设正数数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，Sn是an2和an的等差中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）在集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}中，是否存在正整数m，使得不等式Sn-1005＞
a2n
2
对一切满足n＞m的正整数n都成立？若存在，则这样的正整数m共有多少个？并求出满足条件的最小正整数m的值；若不存在，请说明理由；
（3）请构造一个与数列{Sn}有关的数列{un}，使得
lim
n→∞
(u1+u2+…+un)存在，并求出这个极限值．
题型：解答题难度：中档来源：嘉定区一模

答案

（1）由题意得，2Sn=an2+an①，
当n=1时，2a1=a12+a1，解得a1=1，…（1分）
当n≥2时，有2Sn-1=an-12+an-1②，
①式减去②式得，2an=an2-an-12+an-an-1
于是，an2-an-12=an+an-1，（an+an-1）（an-an-1）=an+an-1，…（2分）
因为an+an-1＞0，所以an-an-1=1，
所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，…（3分）
所以{an}的通项公式为an=n（n∈N*）．…（4分）
（2）设存在满足条件的正整数m，
则
n(n+1)
2
-1005＞
n2
2
，class="stub"n
2
＞1005，n＞2010，…（6分）
又M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}，
所以m=2010，2012，…，2998均满足条件，
它们组成首项为2010，公差为2的等差数列．…（8分）
设共有k个满足条件的正整数，
则2010+2（k-1）=2998，解得k=495．…（10分）
所以，M中满足条件的正整数m存在，
共有495个，m的最小值为2010．…（12分）
（3）设un=class="stub"1
Sn
，即un=class="stub"2
n(n+1)
，…（15分），
则u1+u2+…+un=class="stub"2
1×2
+class="stub"2
2×3
+…+class="stub"2
n(n+1)

=2[(1-class="stub"1
2
)+(class="stub"1
2
-class="stub"1
3
)+…+(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
)]=2(1-class="stub"1
n+1
)，
其极限存在，且
lim
n→∞
(u1+u2+…+un)=
lim
n→∞
[2(1-class="stub"1
n+1
)]=2．…（18分）
注：un=class="stub"c
Sn
（c为非零常数），un=(class="stub"1
2
)
c•Sn
n+1
（c为非零常数），
un=q
c•Sn
n+1
（c为非零常数，0＜|q|＜1）等都能使
lim
n→∞
(u1+u2+…+un)存在．

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