首页 > 设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式tSn-（t+1）Sn-1=t（t＞0，n∈N*，n≥2）．（Ⅰ）求证：数列{an}是等比数列；（Ⅱ）设数列{an}的公比为f（t），作数列{bn}

设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式tSn-（t+1）Sn-1=t（t＞0，n∈N*，n≥2）．（Ⅰ）求证：数列{an}是等比数列；（Ⅱ）设数列{an}的公比为f（t），作数列{bn}

题目简介

设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式tSn-（t+1）Sn-1=t（t＞0，n∈N*，n≥2）．（Ⅰ）求证：数列{an}是等比数列；（Ⅱ）设数列{an}的公比为f（t），作数列{bn}

题目详情

设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式tSn-（t+1）Sn-1=t（t＞0，n∈N*，n≥2）．
（Ⅰ）求证：数列{an}是等比数列；
（Ⅱ）设数列{an}的公比为f（t），作数列{bn}，使b1=1，bn=f(
1
bn-1
)（n∈N*，n≥2），求数列{bn}的通项公式；
（Ⅲ）数列{bn}满足条件（Ⅱ），求和：b1b2-b2b3+b3b4-…+b2n-1b2n-b2nb2n+1．
题型：解答题难度：中档来源：石景山区一模

答案

（Ⅰ）∵tSn-（t+1）Sn-1=t，（n≥2）①tSn-1-（t+1）Sn-2=t，（n≥3）②
①-②，得tan-（t+1）an-1=0．
∴
an
an-1
=class="stub"t+1
t
（n∈N*，n≥3）．
又由t（1+a2）-（t+1）=t．得a2=class="stub"t+1
t
．
又∵a1=1，∴
a2
a1
=class="stub"t+1
t
．
所以{an}是一个首项为1，公比为class="stub"t+1
t
的等比数列．
（Ⅱ）由f（t）=class="stub"t+1
t
，得bn=f(class="stub"1
bn-1
)=1+bn-1（n≥2，n∈N*）．
∴{bn}是一个首项为1，公差为1的等差数列．
于是bn=n．
（Ⅲ）由bn=n，可知{b2n-1}和{b2n}是首项分别为1和2，公差均为2的等差数列，
于是b2n=2n．
∴b1b2-b2b3+b3b4-…+b2n-1b2n-b2nb2n+1
=b2（b1-b3）+b4（b3-b5）+…+b2n（b2n-1-b2n+1）=-2（b2+b4+…+b2n）
=-2•
(2+2n)n
2
=-2n2-2n．

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