首页 > 设数列{an}与{bn}满足：对任意n∈N*，都有ban-2n=(b-1)Sn，bn=an-n•2n-1．其中Sn为数列{an}的前n项和．（1）当b=2时，求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）

设数列{an}与{bn}满足：对任意n∈N*，都有ban-2n=(b-1)Sn，bn=an-n•2n-1．其中Sn为数列{an}的前n项和．（1）当b=2时，求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）

题目简介

设数列{an}与{bn}满足：对任意n∈N*，都有ban-2n=(b-1)Sn，bn=an-n•2n-1．其中Sn为数列{an}的前n项和．（1）当b=2时，求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）

题目详情

设数列{an}与{bn}满足：对任意n∈N*，都有ban-2n=(b-1)Sn，bn=an-n•2n-1．其中Sn为数列{an}的前n项和．
（1）当b=2时，求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）当b≠2时，求数列{an}的前n项和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：闸北区二模

答案

由题意知a1=2，且ban-2n=(b-1)Sn，ban+1-2n+1=(b-1)Sn+1
两式相减得b(an+1-an)-2n=(b-1)an+1
即an+1=ban+2n①
（1）当b=2时，由①知an+1=2an+2n
于是an+1-(n+1)•2n=2an+2n-(n+1)•2n=2(an-n•2n-1)
又a1-1•2n-1=1≠0，所以{an-n•2n-1}是首项为1，公比为2的等比数列．
故知，bn=2n-1，
再由bn=an-n•2n-1，得an=(n+1)2n-1．
（2）当b≠2时，由①得an+1-class="stub"1
2-b
•2n+1=ban+2n-class="stub"1
2-b
•2n+1=b(an-class="stub"1
2-b
•2n)
若b=0，Sn=2n
若b=1，an=2n，Sn=2n+1-2
若b≠0、1，数列{an-class="stub"1
2-b
•2n}是以
2(1-b)
2-b
为首项，以b为公比的等比数列，
故an-class="stub"1
2-b
•2n=
2(1-b)
2-b
•bn-1，an=class="stub"1
2-b
[2n+(2-2b)bn-1]Sn=class="stub"1
2-b
(2+22+23+…+2n)+
2(1-b)
2-b
(1+b1+b2+…+bn-1)，
Sn=
2(2n-bn)
2-b

b=1时，Sn=2n+1-2符合上式
所以，当b≠0时，Sn=
2(2n-bn)
2-b

当b=0时，Sn=2n
另
当n=1时，S1=a1=2
当n≥2时，∵ban-2n=(b-1)Sn∴b(Sn-Sn-1)-2n=(b-1)Sn
∴Sn=bSn-1+2n
若b=0，Sn=2n
若b≠0，两边同除以2n得
Sn
2n
=class="stub"b
2
•
Sn-1
2n-1
+1
令
Sn
2n
+m=class="stub"b
2
•
Sn-1
2n-1
+1+m，即
Sn
2n
+m=class="stub"b
2
•(
Sn-1
2n-1
+class="stub"2+2m
b
)
由m=class="stub"2+2m
b
得m=class="stub"2
b-2
∴{
Sn
2n
+class="stub"2
b-2
}是以class="stub"b
b-2
为首项，class="stub"b
2
为公比的等比数列
∴
Sn
2n
+class="stub"2
b-2
=class="stub"b
b-2
•(class="stub"b
2
)n-1，
所以，当b≠0时，Sn=
2(2n-bn)
2-b

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