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已知公差为d（d＞1）的等差数列{an}和公比为q（q＞1）的等比数列{bn}，满足集合{a3，a4，a5}∪{b3，b4，b5}={1，2，3，4，5}（1）求通项an，bn；（2）求数列{anbn

题目简介

已知公差为d（d＞1）的等差数列{an}和公比为q（q＞1）的等比数列{bn}，满足集合{a3，a4，a5}∪{b3，b4，b5}={1，2，3，4，5}（1）求通项an，bn；（2）求数列{anbn

题目详情

已知公差为d（d＞1）的等差数列{an}和公比为q（q＞1）的等比数列{bn}，满足集合{a3，a4，a5}∪{b3，b4，b5}={1，2，3，4，5}
（1）求通项an，bn；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）若恰有4个正整数n使不等式
2an+p
an
≤
bn+1+p+8
bn
成立，求正整数p的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵1，2，3，4，5这5个数中成公差大于1的等差数列的三个数只能是1，3，5；
成公比大于1的等比数列的三个数只能是1，2，4
而{a3，a4，a5}∪{b3，b4，b5}={1，2，3，4，5}，
∴a3=1，a4=3，a5=5，b3=1，b4=2，b5=4
∴a1=-3，d=2，b1=class="stub"1
4
，q=2，
∴an=a1+（n-1）d=2n-5，bn=b1×qn-1=2n-3

（2）∵anbn=（2n-5）×2n-3
∴Sn=（-3）×2-2+（-1）×2-1+1×20++（2n-5）×2n-3
2Sn=
&(-3)×2-1+(-1)×20++(2n-7)×2n-3+(2n-5)×2n-2

两式相减得-Sn=（-3）×2-2+2×2-1+2×20++2×2n-3-（2n-5）×2n-2
=-class="stub"3
4
-1+2n-1-(2n-5)×2n-2
∴Sn=class="stub"7
4
+(2n-7)×2n-2

（3）不等式
2an+p
an
≤
bn+1+p+8
bn
等价于
2[2(n+p)-5]
2n-5
≤
2n-2+p+8
2n-3

即class="stub"4p
2n-5
≤class="stub"p+8
2n-3
，
∵p＞0，∴n=1，2显然成立
当n≥3时，有class="stub"4p
p+8
≤class="stub"2n-5
2n-3
，
即p≤
8(2n-5)
2n-1-2n+5
=class="stub"8
2n-1
2n-5
-1

设cn=
2n-1
2n-5
，由
cn+1
cn
=
2(2n-5)
2n-3
＞1，得n＞3.5
∴当n≥4时，{cn}单调递增，
即{
8(2n-5)
2n-1-2n+5
}单调递减
而当n=3时，p≤2class="stub"2
3
；
当n=4时，p≤4class="stub"4
5
；
当n=5时，p≤3class="stub"7
11
；
当n=6时，p≤2class="stub"6
25
；
∴恰有4个正整数n使不等式
2an+p
an
≤
bn+1+p+8
bn
成立的正整数p值为3

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