已知数列{an}满足:a1=1,an+an+1=4n,Sn是数列{an}的前n项和;数列{bn}前n项的积为Tn,且Tn=2n(1-n)(1)求数列{an},{bn}的通项公式(2)是否存在常数a,使

题目简介

已知数列{an}满足:a1=1,an+an+1=4n,Sn是数列{an}的前n项和;数列{bn}前n项的积为Tn,且Tn=2n(1-n)(1)求数列{an},{bn}的通项公式(2)是否存在常数a,使

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已知数列{an}满足:a1=1,an+an+1=4n,Sn是数列{an}的前n项和;数列{bn}前n项的积为Tn,且Tn=2n(1-n)
(1)求数列{an},{bn}的通项公式
(2)是否存在常数a,使得{Sn-a}成等差数列?若存在,求出a,若不存在,说明理由.
(3)求数列{
1
Sn+1-1
}
的前n项和.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由题知an+an+1=4n,可得an+1+an+2=4(n+1),两式相减即得
an+2-an=4,即数列{an}隔项成等差数列
又a1=1,代入式子可得a2=3,
∴n为奇数时,an=a1+4(class="stub"n+1
2
-1)=2n-1
;…(2分)
n为偶数时,an=a2+4(class="stub"n
2
-1)=2n-1
.…(3分)
∴n∈N+,an=2n-1…(4分)
又当n=1时 b1=T1=20=1
n≥2时bn=
Tn
Tn-1
=22(1-n)=class="stub"1
4n-1

∴n∈N+,bn=class="stub"1
4n-1
…(6分)
(2)由(1)知an=2n-1,数列{an}成等差数列
Sn=
n(a1+an)
2
=n2

Sn-a=n2-aSn+1-a=(n+1)2-aSn+2-a=(n+2)2-a
若存在常数a,使得{Sn-a}成等差数列,则(Sn-a)+(Sn+2-a)=2(Sn+1-a)在n∈N+时恒成立
即n2-a+(n+2)2-a=2((n+1)2-a)化简得:4=2,矛盾
故常数a不存在     …(10分)
(3)由(2)知class="stub"1
Sn+1-1
=class="stub"1
n(n+2)
=class="stub"1
2
(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+2
)

Tn=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
3
)+class="stub"1
2
(class="stub"1
2
-class="stub"1
4
)+class="stub"1
2
(class="stub"1
3
-class="stub"1
5
)+class="stub"1
2
(class="stub"1
4
-class="stub"1
6
)+…+class="stub"1
2
(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+2
)

=class="stub"1
2
(1+class="stub"1
2
-class="stub"1
n+1
-class="stub"1
n+2
)
=class="stub"3
4
-class="stub"2n+3
2n2+6n+4
…(13分)

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