已知各项均不相等的等差数列{an}的前三项和S3=9,且a5是a3和a8的等比中项.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设Tn为数列{1anan+1}的前n项和,若Tn≤λan+1对任意的n∈N*恒

题目简介

已知各项均不相等的等差数列{an}的前三项和S3=9,且a5是a3和a8的等比中项.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设Tn为数列{1anan+1}的前n项和,若Tn≤λan+1对任意的n∈N*恒

题目详情

已知各项均不相等的等差数列{an}的前三项和S3=9,且a5是a3和a8的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Tn为数列{
1
anan+1
}
的前n项和,若Tn≤λan+1对任意的n∈N*恒成立,求证:λ≥
1
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题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)设数列{an}的公差为d,则
∵S3=9,且a5是a3和a8的等比中项,
3a1+3d=9
(a1+4d)2=(a1+2d)(a1+7d)

∵d≠0,∴d=1
∴a1=2
∴an=n+1;
(2)证明:∵class="stub"1
anan+1
=class="stub"1
(n+1)(n+2)
=class="stub"1
n+1
-class="stub"1
n+2

∴Tn=class="stub"1
2
-class="stub"1
3
+class="stub"1
3
-class="stub"1
4
+…+class="stub"1
n+1
-class="stub"1
n+2
=class="stub"1
2
-class="stub"1
n+2
=class="stub"n
2(n+2)

∵Tn≤λan+1对任意的n∈N*恒成立,
class="stub"n
2(n+2)
≤λ(n+2)
对任意的n∈N*恒成立,
class="stub"n
2(n+2)2
=class="stub"1
2(n+class="stub"4
n
+4)
class="stub"1
2×(4+4)
=class="stub"1
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λ≥class="stub"1
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