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已知等差数列{an}满足：an+1＞an（n∈N*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{bn}的前三项．（Ⅰ）分别求数列{an}，{bn}的通项公式an，bn；（Ⅱ）设Tn

题目简介

已知等差数列{an}满足：an+1＞an（n∈N*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{bn}的前三项．（Ⅰ）分别求数列{an}，{bn}的通项公式an，bn；（Ⅱ）设Tn

题目详情

已知等差数列{an}满足：an+1＞an（n∈N*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{bn}的前三项．
（Ⅰ）分别求数列{an}，{bn}的通项公式an，bn；
（Ⅱ）设Tn=
a1
b1
+
a2
b2
+…+
an
bn
(n∈N*)，若Tn+
2n+3
2n
-
1
n
＜c(c∈Z)恒成立，求c的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：成都一模

答案

（Ⅰ）设d、q分别为数列{an}、数列{bn}的公差与公比，a1=1．
由题可知，a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分别加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比数列{bn}的前三项，
∴（2+d）2=2（4+2d）⇒d=±2．
∵an+1＞an，
∴d＞0．
∴d=2，
∴an=2n-1（n∈N*）．
由此可得b1=2，b2=4，q=2，
∴bn=2n（n∈N*）．
（Ⅱ）Tn=
a1
b1
+
a2
b2
+…+
an
bn
=class="stub"1
2
+class="stub"3
22
+class="stub"5
23
+…+class="stub"2n-1
2n
，①
∴class="stub"1
2
Tn=class="stub"1
22
+class="stub"3
23
+class="stub"5
24
+…+class="stub"2n-1
2n+1
．②
①-②，得class="stub"1
2
Tn=class="stub"1
2
+(class="stub"1
22
+class="stub"1
23
+…+class="stub"1
2n
)-class="stub"2n-1
2n+1
．
∴Tn=1+
1-class="stub"1
2n-1
1-class="stub"1
2
-class="stub"2n-1
2n
=3-class="stub"1
2n-2
-class="stub"2n-1
2n
=3-class="stub"2n+3
2n
．
∴Tn+class="stub"2n+3
2n
-class="stub"1
n
=3-class="stub"1
n
．
∵(3-class="stub"1
n
)在N*是单调递增的，
∴(3-class="stub"1
n
)∈[2，3)．
∴Tn+class="stub"2n+3
2n
-class="stub"1
n
=3-class="stub"1
n
＜3
∴满足条件Tn+class="stub"2n+3
2n
-class="stub"1
n
＜c(c∈Z)恒成立的最小整数值为c=3．

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