已知点列B1(1,b1),B2(2,b2),…,Bn(n,bn),…(n∈N)顺次为抛物线y=14x2上的点,过点Bn(n,bn)作抛物线y=14x2的切线交x轴于点An(an,0),点Cn(cn,

题目简介

已知点列B1(1,b1),B2(2,b2),…,Bn(n,bn),…(n∈N)顺次为抛物线y=14x2上的点,过点Bn(n,bn)作抛物线y=14x2的切线交x轴于点An(an,0),点Cn(cn,

题目详情

已知点列B1(1,b1),B2(2,b2),…,Bn(n,bn),…(n∈N)顺次为抛物线y=
1
4
x2上的点,过点Bn(n,bn)作抛物线y=
1
4
x2的切线交x轴于点An(an,0),点Cn(cn,0)在x轴上,且点An,Bn,Cn构成以点Bn为顶点的等腰三角形.
(1)求数列{an},{cn}的通项公式;
(2)是否存在n使等腰三角形AnBnCn为直角三角形,若有,请求出n;若没有,请说明理由.
(3)设数列{
1
an•(
3
2
+cn)
}的前n项和为Sn,求证:
2
3
≤Sn
4
3
题型:解答题难度:中档来源:蓝山县模拟

答案

(1)∵y=class="stub"1
4
x2,∴y′=class="stub"x
2
,y′|x=n=class="stub"n
2

∴点Bn(n,bn)作抛物线y=class="stub"1
4
x2的切线方程为:y-
n2
4
=class="stub"n
2
(x-n),
令y=0,则x=class="stub"n
2
,即an=class="stub"n
2
;(3分)
∵点An,Bn,Cn构成以点Bn为顶点的等腰三角形,
∴an+cn=2n,∴cn=2n-an=class="stub"3n
2
  (5分)
(2)若等腰三角形AnBnCn为直角三角形,则|AnCn|=2bn
∴n=
n2
2
,∴n=2,
∴存在n=2,使等腰三角形A2B2C2为直角三角形   (9分)
(3)证明:∵class="stub"1
an•(class="stub"3
2
+cn)
=class="stub"1
class="stub"n
2
(class="stub"3
2
+class="stub"3n
2
)
=class="stub"1
class="stub"3
4
n(n+1)
=class="stub"4
3
class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
)(11分)
∴Sn=class="stub"4
3
(1-class="stub"1
2
+class="stub"1
2
-class="stub"1
3
+…+class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
)=class="stub"4
3
(1-class="stub"1
n+1
)<class="stub"4
3

又1-class="stub"1
n+1
随n的增大而增大,
∴当n=1时,Sn的最小值为:class="stub"4
3
(1-class="stub"1
1+1
)=class="stub"2
3

class="stub"2
3
≤Sn<class="stub"4
3
(14分)

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