首页 > 设函数y=f（x）定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对于任意的x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y）成立．数列{an}满足a1=f（0），且f(an+1)=1f(-2-an)(n∈N*)

设函数y=f（x）定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对于任意的x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y）成立．数列{an}满足a1=f（0），且f(an+1)=1f(-2-an)(n∈N*)

题目简介

设函数y=f（x）定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对于任意的x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y）成立．数列{an}满足a1=f（0），且f(an+1)=1f(-2-an)(n∈N*)

题目详情

设函数y=f（x）定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对于任意的x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y）成立．数列{an}满足a1=f（0），且 f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N*)．
（Ⅰ） 求f（0）的值；
（Ⅱ） 求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ） 是否存在正数k，使(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)≥k
2n+1
对一切n∈N*均成立，若存在，求出k的最大值，并证明，否则说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）∵函数y=f（x）定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，
且对于任意的x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y）成立．
∴令x=-1，y=0，
得f（-1）=f（-1）•f（0），
得f（0）=1．（3分）
（Ⅱ）由f(an+1)=class="stub"1
f(-2-an)
，得f（an+1）•f（-2-an）=1，
∴f（an+1-an-2）=f（0），
∴an+1-an-2=0，即an+1-an=2（n∈N*）．
∴{an}是等差数列，其首项为1，公差为d=2，
∴an=2n-1（8分）
（Ⅲ）存在正数k，使(1+class="stub"1
a1
)(1+class="stub"1
a2
)…(1+class="stub"1
an
)≥k
2n+1
成立．
记F(n)=
(1+class="stub"1
a1
)(1+class="stub"1
a2
)…(1+class="stub"1
an
)
2n+1
，
则
F(n+1)
F(n)
=
2(n+1)
4(n+1)2-1
＞1，
∴F（n）单调递增，
∴F（1）为F（n）的最小值，
由F（n）≥k恒成立知k≤class="stub"2
3
3
，
∴k的最大值为class="stub"2
3
3
．（14分）

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