已知{an}为等差数列,{bn}为各项均是正数的等比数列,且a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3求:(Ⅰ)数列{an}、{bn}的通项公式an、bn;(Ⅱ)数列{8anb2n}的前n项的和

题目简介

已知{an}为等差数列,{bn}为各项均是正数的等比数列,且a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3求:(Ⅰ)数列{an}、{bn}的通项公式an、bn;(Ⅱ)数列{8anb2n}的前n项的和

题目详情

已知{an}为等差数列,{bn}为各项均是正数的等比数列,且a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3
求:(Ⅰ)数列{an}、{bn}的通项公式an、bn
(Ⅱ)数列{8anb2n}的前n项的和Sn
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ) 设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q(q>0),得2a3=a2+a4,b32=b2•b4,
      又a2+a4=b3,b2•b4=a3,
∴2b32=b3
∵bn>0∴b3=class="stub"1
2

由 b3=1•q2=class="stub"1
2
q=
2
2
(2分)
2a3=class="stub"1
2
,a1=1得:d=-class="stub"3
8
(4分)
an=class="stub"11
8
-class="stub"3
8
n
bn=2class="stub"1-n
2
(n∈N+)   (6分)
(Ⅱ)cn=8andn=bn2显然数列{cn}是以8为首项,公差为-3的等差数列,数列{dn}是以1为首项,公比为class="stub"1
2
的等比数列
,sn=c1d1+c2d2+…+cndn①等式两边同乘以class="stub"1
2

class="stub"1
2
Sn=c1d2+c2d3+…+cn-1dn+cndn+1

由①-②得class="stub"1
2
Sn=c1d1-3d2-3d3-…-3dn-cndn+1

=8-3•
class="stub"1
2
(1-(class="stub"1
2
)
n-1
)
1-class="stub"1
2
-(11-3n)•2-n

=5+class="stub"3n-5
2n

因此  Sn=10+class="stub"3n-5
2n-1
(n∈N+)   (9分)

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