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> 设正数数列{an}的前n项和Sn满足Sn=14(an+1)2.(I)求数列{an}的通项公式;(II)设bn=1an•an+1,求数列{bn}的前n项和Tn.-数学
设正数数列{an}的前n项和Sn满足Sn=14(an+1)2.(I)求数列{an}的通项公式;(II)设bn=1an•an+1,求数列{bn}的前n项和Tn.-数学
题目简介
设正数数列{an}的前n项和Sn满足Sn=14(an+1)2.(I)求数列{an}的通项公式;(II)设bn=1an•an+1,求数列{bn}的前n项和Tn.-数学
题目详情
设正数数列{a
n
}的前n项和S
n
满足
S
n
=
1
4
(
a
n
+1
)
2
.
(I)求数列{a
n
}的通项公式;
(II)设
b
n
=
1
a
n
•
a
n+1
,求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(Ⅰ)当n=1时,
a
1
=
S
1
=
class="stub"1
4
(
a
1
+1
)
2
,
∴a1=1.(2分)
∵
S
n
=
class="stub"1
4
(
a
n
+1
)
2
,①
∴
S
n-1
=
class="stub"1
4
(
a
n-1
+1
)
2
(n≥2).②
①-②,得
a
n
=
S
n
-
S
n-1
=
class="stub"1
4
(
a
n
+1
)
2
-
class="stub"1
4
(
a
n-1
+1
)
2
,
整理得,(an+an-1)(an-an-1-2)=0,(5分)
∵an>0
∴an+an-1>0.
∴an-an-1-2=0,即an-an-1=2(n≥2).(7分)
故数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列.
∴an=2n-1.(9分)
(Ⅱ)∵
b
n
=
class="stub"1
a
n
•
a
n+1
=
class="stub"1
(2n-1)(2n+1)
=
class="stub"1
2
(
class="stub"1
2n-1
-
class="stub"1
2n+1
)
,(11分)
∴Tn=b1+b2+bn=
class="stub"1
2
(1-
class="stub"1
3
)+
class="stub"1
2
(
class="stub"1
3
-
class="stub"1
5
)++
class="stub"1
2
(
class="stub"1
2n-1
-
class="stub"1
2n+1
)
=
class="stub"1
2
(1-
class="stub"1
2n+1
)
=
class="stub"n
2n+1
. (14分)
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若一个三角形的三个内角成等差
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设正数数列{an}的前n项和Sn满足Sn=14(an+1)2.(I)求数列{an}的通项公式;(II)设bn=1an•an+1,求数列{bn}的前n项和Tn.-数学
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(I)求数列{an}的通项公式;
(II)设bn=
答案
∴a1=1.(2分)
∵Sn=
∴Sn-1=
①-②,得an=Sn-Sn-1=
整理得,(an+an-1)(an-an-1-2)=0,(5分)
∵an>0
∴an+an-1>0.
∴an-an-1-2=0,即an-an-1=2(n≥2).(7分)
故数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列.
∴an=2n-1.(9分)
(Ⅱ)∵bn=
∴Tn=b1+b2+bn=