已知数列{log2(an-2)}(n∈N*)为等差数列,且a1=5,a3=29.(1)求数列{an}的通项公式;(2)对任意n∈N*,1a2-a1+1a3-a2+…+1an+1-an<m恒成立的实数m

题目简介

已知数列{log2(an-2)}(n∈N*)为等差数列,且a1=5,a3=29.(1)求数列{an}的通项公式;(2)对任意n∈N*,1a2-a1+1a3-a2+…+1an+1-an<m恒成立的实数m

题目详情

已知数列{log2(an-2)}(n∈N*)为等差数列,且a1=5,a3=29.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)对任意n∈N*
1
a2-a1
+
1
a3-a2
+…+
1
an+1-an
<m
恒成立的实数m是否存在最小值?如果存在,求出m的最小值;如果不存在,说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)设等差数列{log3(an-2)}的公差为d.
由a1=5,a3=29得log327=log33+2d,即d=1.
所以log2(an-2)=1+(n-1)×1=n,即an=2n+2.
(2)证明:因为class="stub"1
an+1-an
=class="stub"1
2n+1-2n
=class="stub"1
2n

所以class="stub"1
a2-a1
+class="stub"1
a3-a2
+…+class="stub"1
an+1-an
=class="stub"1
21
+class="stub"1
22
+class="stub"1
23
+…+class="stub"1
2n
=
class="stub"1
2 
-class="stub"1
2n
×class="stub"1
2
1-class="stub"1
2
=1-class="stub"1
2n

class="stub"1
a2-a1
+class="stub"1
a3-a2
+…+class="stub"1
an+1-an
<m
恒成立,
即1-class="stub"1
2n
<m,由于1-class="stub"1
2n
<1,
∴m≥1.
故存在m的最小值1,使得对任意n∈N*,class="stub"1
a2-a1
+class="stub"1
a3-a2
+…+class="stub"1
an+1-an
<m
恒成立.

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