已知等差数列{an}和等比数列{bn},a1=b1=1且a3+a5+a7=9,a7是b3和b7的等比中项.(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式;(Ⅱ)若cn=2anbn2,求数列{cn}的前n项和

题目简介

已知等差数列{an}和等比数列{bn},a1=b1=1且a3+a5+a7=9,a7是b3和b7的等比中项.(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式;(Ⅱ)若cn=2anbn2,求数列{cn}的前n项和

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已知等差数列{an}和等比数列{bn},a1=b1=1且a3+a5+a7=9,a7是b3和b7的等比中项.
(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(Ⅱ)若cn=2anbn2,求数列{cn}的前n项和Tn
题型:解答题难度:中档来源:潍坊二模

答案

(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,
由题意知:a3+a5+a7=9,
3
a
=9
,∴a5=3,d=
a5-a1
4
=class="stub"1
2

an=a1+(n-1)d=class="stub"n+1
2
(n∈N+)

a7=4,∵a72=b3•b7=16,∴b52=b3•b7=16,∵b5∈N+,
b5=4,∴q4=
b5
b1
=4
,∵q∈R+,∴q=
2

bn=b1qn-1=2class="stub"n-1
2
(n∈N+)

(II)因为cn=2an•bn2=(n+1)•2n-1
所以Tn=c1+c2++cn=2+3•2+4•22+…+(n+1)•2n-1.(1)
2Tn=2•2+3•22+4•23+…+n•2n-1+(n+1)•2n.(2)
由(1)减(2),
-Tn=2+2+22++2n-1-(n+1)•2n=1+
2n-1
2-1
-(n+1)•2n=-n•2n

∴Tn=n•2n

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