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> 已知等差数列{an}和等比数列{bn},a1=b1=1且a3+a5+a7=9,a7是b3和b7的等比中项.(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式;(Ⅱ)若cn=2anbn2,求数列{cn}的前n项和
已知等差数列{an}和等比数列{bn},a1=b1=1且a3+a5+a7=9,a7是b3和b7的等比中项.(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式;(Ⅱ)若cn=2anbn2,求数列{cn}的前n项和
题目简介
已知等差数列{an}和等比数列{bn},a1=b1=1且a3+a5+a7=9,a7是b3和b7的等比中项.(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式;(Ⅱ)若cn=2anbn2,求数列{cn}的前n项和
题目详情
已知等差数列{a
n
}和等比数列{b
n
},a
1
=b
1
=1且a
3
+a
5
+a
7
=9,a
7
是b
3
和b
7
的等比中项.
(Ⅰ)求数列{a
n
}、{b
n
}的通项公式;
(Ⅱ)若c
n
=2a
n
b
n
2
,求数列{c
n
}的前n项和T
n
.
题型:解答题
难度:中档
来源:潍坊二模
答案
(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,
由题意知:a3+a5+a7=9,
∴
3
a
5
=9
,∴
a
5
=3,d=
a
5
-
a
1
4
=
class="stub"1
2
,
∴
a
n
=
a
1
+(n-1)d=
class="stub"n+1
2
(n∈
N
+
)
a7=4,∵a72=b3•b7=16,∴b52=b3•b7=16,∵b5∈N+,
∴
b
5
=4
,∴
q
4
=
b
5
b
1
=4
,∵
q∈
R
+
,∴
q=
2
,
∴
b
n
=
b
1
•
q
n-1
=
2
class="stub"n-1
2
(n∈
N
+
)
(II)因为cn=2an•bn2=(n+1)•2n-1
所以Tn=c1+c2++cn=2+3•2+4•22+…+(n+1)•2n-1.(1)
2Tn=2•2+3•22+4•23+…+n•2n-1+(n+1)•2n.(2)
由(1)减(2),
得
-
T
n
=2+2+
2
2
++
2
n-1
-(n+1)•
2
n
=1+
2
n
-1
2-1
-(n+1)•
2
n
=-n•
2
n
,
∴Tn=n•2n
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已知数列{log2(an-2)}(n∈N*)
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在等差数列{an}中,a1=-60,a17=-1
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题目简介
已知等差数列{an}和等比数列{bn},a1=b1=1且a3+a5+a7=9,a7是b3和b7的等比中项.(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式;(Ⅱ)若cn=2anbn2,求数列{cn}的前n项和
题目详情
(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(Ⅱ)若cn=2anbn2,求数列{cn}的前n项和Tn.
答案
由题意知:a3+a5+a7=9,
∴3
∴an=a1+(n-1)d=
a7=4,∵a72=b3•b7=16,∴b52=b3•b7=16,∵b5∈N+,
∴b5=4,∴q4=
∴bn=b1•qn-1=2
(II)因为cn=2an•bn2=(n+1)•2n-1
所以Tn=c1+c2++cn=2+3•2+4•22+…+(n+1)•2n-1.(1)
2Tn=2•2+3•22+4•23+…+n•2n-1+(n+1)•2n.(2)
由(1)减(2),
得-Tn=2+2+22++2n-1-(n+1)•2n=1+
∴Tn=n•2n