设数列{an}{bn}的各项都是正数，Sn为数列{an}的前n项和，且对任意n∈N*．都有an2=2Sn-an，b1=e，bn+1=bn2．cn=an•lnbn（e是自然对数的底数，e=2.71828

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设数列{a_n}{b_n}的各项都是正数，S_n为数列{a_n}的前n项和，且对任意n∈N^*．都有an2=2Sn-an，b₁=e，bn+1=bn2．c_n=a_n•lnb_n（e是自然对数的底数，e=2.71828…）
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）求数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）试探究是否存在整数λ，使得对于任意n∈N^*，不等式

5(n-1)

2Sn-1

＜λ＜

4(Tn-1)

(n-1)n(n+1)

恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）因为an＞0，an2=2Sn-an，①
当n=1时，a12=2S1-a1，解得a1=1；
当n≥2时，有

2n-1

=2Sn-1-an-1，②
由①-②得，an2-

2n-1

=2(Sn-Sn-1)-(an-an-1)=an+an-1．
即（an+an-1）（an-an-1）=an+an-1．
因为an＞0，所以an-an-1=1（n≥2），即数列{an}是等差数列，
所以an=a1+（n-1）d=1+n-1=n．
又因为bn+1=bn2，且bn＞0，取自然对数得lnbn+1=2lnbn，
由此可知数列{lnbn}是以lnb1=lne=1为首项，以2为公比的等比数列，
所以lnbn=lnb1×2n-1=2n-1，
所以bn=e2n-1．
（2）由（1）知，cn=an•lnbn=n•2n-1，
所以Tn=1×20+2×21+3×22+…+(n-1)×2n-2+n×2n-1 ③
2×Tn=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n ④
由③-④得-Tn=1+2+22+…+2n-1-n×2n，
所以Tn=(n-1)2n+1．
（3）由an=n，an2=2Sn-an得Sn=

n2+n

，
由

5(n-1)

2Sn-1

＜λ＜

4(Tn-1)

(n-1)n(n+1)

可得

5(n-1)

n2+n-1

＜λ＜

2n+2

n(n+1)

，
即使得对于任意n∈N*且n≥2，不等式

5(n-1)

2Sn-1

＜λ＜

4(Tn-1)

(n-1)n(n+1)

恒成立等价于使得对于
任意n∈N*且n≥2，不等式

5(n-1)

n2+n-1

＜λ＜

2n+2

n(n+1)

恒成立．
∵

5(n-1)

n2+n-1

=class="stub"5

n+class="stub"2n-2+1

n-1

=class="stub"5

n+2+class="stub"1

n-1

≤1，当n=2时取最大值是1．
又令g(n)=

2n+2

n(n+1)

，
由

g(n)≤g(n-1)

g(n)≤g(n+1)

可得

2n+2

n(n+1)

≤

2n+1

n(n-1)

2n+2

n(n+1)

≤

2n+3

(n+1)(n+2)

，
化简得：

class="stub"2

n+1

≤class="stub"1

n-1

class="stub"1

≤class="stub"2

n+2

，
解得2≤n≤3，所以当n=2或3时，g（n）取最小值，最小值为g(2)=g(3)=class="stub"8

，
所以λ=2时，原不等式恒成立．

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设数列{an}{bn}的各项都是正数，Sn为数列{an}的前n项和，且对任意n∈N*．都有an2=2Sn-an，b1=e，bn+1=bn2．cn=an•lnbn（e是自然对数的底数，e=2.71828

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