已知数列{an}的前n项的平均数的倒数为12n+1，（1）求{an}的通项公式；（2）设cn=an2n+1，试判断并说明cn+1-cn（n∈N*）的符号；（3）设函数f(x)=-x2+4x-an2n+

题目简介

已知数列{a_n}的前n项的平均数的倒数为

2n+1

，
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设cn=

2n+1

，试判断并说明c_n+1-c_n（n∈N^*）的符号；
（3）设函数f(x)=-x2+4x-

2n+1

，是否存在最大的实数λ，当x≤λ时，对于一切自然数n，都有f（x）≤0．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）∵数列{an}的前n项的平均数的倒数为class="stub"1

2n+1

，
∴a1+a2+…+an-1+an=n（2n+1），a1+a2+…+an-1=（n-1）（2n-1）
两式相减得an=4n-1（n≥2），
∵a1=3，
∴an=4n-1（n∈N）
（2）∵cn=

2n+1

=class="stub"4n-1

2n+1

=2-class="stub"3

2n+1

，cn+1=2-class="stub"3

2n+3

，
∴cn+1-cn=class="stub"3

2n+1

-class="stub"3

2n+3

＞0，即cn+1＞cn．
（3）由（2）知c1=1是数列{cn}中的最小项，
∵x≤λ时，对于一切自然数n，都有f(x)≤0，即-x2+4x≤

2n+1

=cn，
∴-x2+4x≤c1=1，即x2-4x+1≥0，
∴x≥2+

或x≤2-

， ∴取λ=2-

．