首页 > 数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn=lnnxa2n，求证：对

数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn=lnnxa2n，求证：对

题目简介

数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn=lnnxa2n，求证：对

题目详情

数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn=
lnnx
a2n
，求证：对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828…）和任意正整数n，总有Tn＜2；
（3）正数数列{cn}中，an+1=（cn）n+1（n∈N*），求数列{cn}中的最大项．
题型：解答题难度：中档来源：中山市模拟

答案

（1）由已知，对于任意n∈N*，总有2Sn=an+an2①成立
所以2Sn-1=an-1+an-12②
①-②得，2an=an+an2-an-1-an-12，
∴an+an-1=（an+an-1）（an-an-1）
∵an，an-1均为正数，
∴an-an-1=1（n≥2）
∴数列{an}是公差为1的等差数列
又n=1时，2S1=a1+a12，解得a1=1∴an=n（n∈N*）
（2）证明：∵对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828）和任意正整数n，
总有bn=
lnnx
a2n
≤class="stub"1
n2
，
∴Tn≤class="stub"1
12
+class="stub"1
22
++class="stub"1
n2
＜1+class="stub"1
1•2
+class="stub"1
2•3
++class="stub"1
(n-1)•n
=1+(1-class="stub"1
2
)+(class="stub"1
2
-class="stub"1
3
)++(class="stub"1
n-1
-class="stub"1
n
)=2-class="stub"1
n
＜2
（3）由已知a2=
c21
=2，∴c1=
2
，a3=
c32
=3，∴c2=
33
，a4=
c43
=4，∴c3=
44
，a5=
c54
=5，∴c4=
55
，
易得c1＜c2，c2＞c3＞c4＞
猜想n≥2时，{cn}是递减数列
令f(x)=class="stub"lnx
x

则f′(x)=class="stub"1-lnx
x2
，
∵当x≥3时，lnx＞1，则1-lnx＜0，f′（x）＜0，
∴在[3，+∞）内，f（x）为单调递减函数，
由an+1=（cn）n+1（n∈N*），知lncn=
ln(n+1)
n+1

∴n≥2时，{lncn}是递减数列，即{cn}是递减数列，
又c1＜c2，
∴数列{cn}中的最大项为c2=
33
．

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