已知等差数列{an}为递增数列,且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根,数列{bn}的前n项和Tn=1-12bn;(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)若cn=3n•bnan•an+

题目简介

已知等差数列{an}为递增数列,且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根,数列{bn}的前n项和Tn=1-12bn;(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)若cn=3n•bnan•an+

题目详情

已知等差数列{an}为递增数列,且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根,数列{bn}的前n项和Tn=1-
1
2
bn

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)若cn=
3nbn
anan+1
,sn为数列{cn}的前n项和,证明:sn<1
题型:解答题难度:中档来源:黄冈模拟

答案

(Ⅰ)由题意得a2=3,a5=9
公差d=
a5-a2
5-2
=2
   (2分)
所以an=a2+(n-2)d=2n-1  (4分)
Tn=1-class="stub"1
2
bn得n=1时b1=class="stub"2
3
   
n≥2时bn=Tn-Tn-1=class="stub"1
2
bn-1-class="stub"1
2
bn
(6分)
bn=class="stub"1
3
bn-1
所以bn=class="stub"2
3n
(8分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)得cn=
3nbn
anan+1
=class="stub"2
(2n-1)(2n+1)
=class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1

∴sn=c1+c2+c3++cn=(class="stub"1
1
-class="stub"1
3
)+(class="stub"1
3
-class="stub"1
5
)+(class="stub"1
5
-class="stub"1
7
)+…+(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)

=1-class="stub"1
2n+1
<1(12分)

∴Sn<1

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