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(文科)数列{an}是首项为21,公差d≠0的等差数列,记前n项和为Sn,若110S10和119S19的等比中项为116S16.数列{bn}满足:bn=anan+1an+2.求:(1)数列{an}的通
题目简介
(文科)数列{an}是首项为21,公差d≠0的等差数列,记前n项和为Sn,若110S10和119S19的等比中项为116S16.数列{bn}满足:bn=anan+1an+2.求:(1)数列{an}的通
题目详情
(文科)数列{a
n
}是首项为21,公差d≠0的等差数列,记前n项和为S
n
,若
1
10
S
10
和
1
19
S
19
的等比中项为
1
16
S
16
.数列{b
n
}满足:b
n
=a
n
a
n+1
a
n+2
.
求:(1)数列{a
n
}的通项a
n
;(2)数列{b
n
}前n项和T
n
最大时n的值.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)设an=21+(n-1)d(d≠0),
则Sn=21n+
n(n-1)
2
d,
∴
class="stub"1
n
Sn=21+
class="stub"n-1
2
d,
∴
class="stub"1
10
S10=21+
class="stub"9
2
d,
class="stub"1
19
S19=21+9d,
class="stub"1
16
S16=21+
class="stub"15
2
d.
由题设可知:(
class="stub"1
16
S16)2=(
class="stub"1
10
S10)•(
class="stub"1
19
S19),
即(21+
class="stub"15
2
d)2=(21+
class="stub"9
2
d)•( 21+9d),解得d=-2,
∴an=21-2(n-1)=23-2n;
(2)由an=23-2n>0,得n<12.
∴当n<10时,bn=anan+1an+2>0;
当n>11时,bn=anan+1an+2<0.
而Tn=Tn-1+bn,
∴当bn>0时,Tn>Tn-1;当bn<0时,Tn<Tn-1.
∴当n<10时,{Tn}递增;当n>11时,{Tn}递减.
又b10=a10a11a12=-3,b11=a11a12a13=3,
∴T9=T11,
∴当n=9或11时,{ Tn}取最大值.
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答案
则Sn=21n+
∴
∴
由题设可知:(
即(21+
∴an=21-2(n-1)=23-2n;
(2)由an=23-2n>0,得n<12.
∴当n<10时,bn=anan+1an+2>0;
当n>11时,bn=anan+1an+2<0.
而Tn=Tn-1+bn,
∴当bn>0时,Tn>Tn-1;当bn<0时,Tn<Tn-1.
∴当n<10时,{Tn}递增;当n>11时,{Tn}递减.
又b10=a10a11a12=-3,b11=a11a12a13=3,
∴T9=T11,
∴当n=9或11时,{ Tn}取最大值.