首页 > 已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且Sn=n(an-a1)2．（1）求a1，a3；（2）求证：数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；（3）设lgbn=an+13n，试问是否存在正整数p

已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且Sn=n(an-a1)2．（1）求a1，a3；（2）求证：数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；（3）设lgbn=an+13n，试问是否存在正整数p

题目简介

已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且Sn=n(an-a1)2．（1）求a1，a3；（2）求证：数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；（3）设lgbn=an+13n，试问是否存在正整数p

题目详情

已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且Sn=
n(an-a1)
2
．
（1）求a1，a3；
（2）求证：数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；
（3）设lgbn=
an+1
3n
，试问是否存在正整数p，q（其中1＜p＜q），使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：奉贤区二模

答案

（1）令n=1，则a1=S1=
1(a1-a1)
2
=0，
令n=3，则S3=
3(a3-a1)
2
，即0+1+a3=
3a3
2
，解得a3=2；   
（2）证明：由Sn=
n(an-a1)
2
，即Sn=
nan
2
①，得Sn+1=
(n+1)an+1
2
②，
②-①，得（n-1）an+1=nan ③，
于是，nan+2=（n+1）an+1 ④，
③+④，得nan+2+nan=2nan+1，即an+2+an=2an+1，
又a1=0，a2=1，a2-a1=1，
所以数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列．
所以an=n-1．                                          
（3）假设存在正整数数组（p，q），使b1，bp，bq成等比数列，
则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，
于是，class="stub"2p
3p
=class="stub"1
3
+class="stub"q
3q
．                                       
所以，q=3q(class="stub"2p
3p
-class="stub"1
3
)（☆）．易知（p，q）=（2，3）为方程（☆）的一组解．    
当p≥3，且p∈N*时，
2(p+1)
3p+1
-class="stub"2p
3p
=class="stub"2-4p
3p+1
＜0，
故数列{class="stub"2p
3p
}（p≥3）为递减数列                                      
于是class="stub"2p
3p
-class="stub"1
3
≤class="stub"2×3
33
-class="stub"1
3
＜0，所以此时方程（☆）无正整数解．      
综上，存在唯一正整数数对（p，q）=（2，3），使b1，bp，bq成等比数列．

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