已知函数f（x）=logax（a＞0且a≠1）及数列{an}．使得2，f（a1），f（a2），…，f（a1），2n+4构成等差数列（n=1，2，…）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{an

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已知函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）及数列{a_n}．
使得2，f（a₁），f（a₂），…，f（a₁），2n+4构成等差数列（n=1，2，…）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{a_n}的前n项和为S_n，当0＜a＜1时，求

lim

n→∞

Sn；
（Ⅲ）若b_n=a_n•f（a_n），当a＞1时，试比较b_n与b_n+1的大小．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）设等差数列的公差为d，
∵f（x）=logax（a＞0且a≠1），
2，f（a1），f（a2），…，f（a1），2n+4构成等差数列（n=1，2，…）．
∴2n+4=2+[（n+2）-1]•d，
∴d=2…（2分）
故f（an）=2+[（n+1）-1]×2=2n+2…（4分）
即f（an）=logaan=2n+2
∴an=a2n+2（a＞0且 a≠1）…（6分）
（Ⅱ）∵a≠1
∴Sn=a4+a6+a8+…+a2n+2=

a4(1-a2n)

1-a2

…（8分）
∵

lim

n→∞

a2n=0，
∴0＜a＜1，
∴

lim

n→∞

Sn=

1-a2

．…（10分）
（Ⅲ）∵bn=anf（an）=a2n+2（2n+2）＞0
因为a＞1且class="stub"n+2

n+1

=1+class="stub"1

n+1

＞1，
∴

bn+1

(2n+4)a2n+4

(2n+2)a2n+2

(n+2)

(n+1)

•a2＞1…（13分）
故bn+1＞bn…（16分）

上一篇 : 等差数列{an}中，a2=8，S6=66（1）求数
下一篇 : 数列{an}的前n项和为Sn=2an-2，

已知函数f（x）=logax（a＞0且a≠1）及数列{an}．使得2，f（a1），f（a2），…，f（a1），2n+4构成等差数列（n=1，2，…）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{an

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