已知数列{an}是公差为正的等差数列,其前n项和为Sn,点(n,Sn)在抛物线y=32x2+12x上;各项都为正数的等比数列{bn}满足b1b3=116,b5=132.(1)求数列{an},{bn}的

题目简介

已知数列{an}是公差为正的等差数列,其前n项和为Sn,点(n,Sn)在抛物线y=32x2+12x上;各项都为正数的等比数列{bn}满足b1b3=116,b5=132.(1)求数列{an},{bn}的

题目详情

已知数列{an}是公差为正的等差数列,其前n项和为Sn,点(n,Sn)在抛物线y=
3
2
x2+
1
2
x
上;各项都为正数的等比数列{bn}满足b1b3=
1
16
b5=
1
32

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)记Cn=anbn,求数列{Cn}的前n项和Tn
题型:解答题难度:中档来源:南充三模

答案

(1)∵点(n,Sn)在抛物线y=class="stub"3
2
x2+class="stub"1
2
x
上,
Sn=class="stub"3
2
n2+class="stub"1
2
n

当n=1时,a1=S1=2…(1分)
当n≥2时,Sn-1=class="stub"3
2
(n-1)2+class="stub"1
2
(n-1)=class="stub"3
2
n2-class="stub"5
2
n+1

∴an=Sn-Sn-1=3n-1…(3分)
∴数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,
∴an=3n-1…(4分)
又∵各项都为正数的等比数列{bn}满足b1b3=class="stub"1
4
b5=class="stub"1
32

设等比数列{bn}的公比为q,
b2=b1q=class="stub"1
4
b1q4=class="stub"1
32
…(5分)
解得b1=class="stub"1
2
,q=class="stub"1
2
…(6分)
bn=(class="stub"1
2
)n
…(7分)
(2)由(1)可知Cn=(3n-1)•(class="stub"1
2
)n
…(8分)
Tn=2×class="stub"1
2
+5×(class="stub"1
2
)2+…+(3n-3)×(class="stub"1
2
)n-1+(3n-1)×(class="stub"1
2
)n
…①…(9分)
class="stub"1
2
Tn=2×(class="stub"1
2
)2+5×(class="stub"1
2
)3+…+(3n-3)×(class="stub"1
2
)n+(3n-1)×(class="stub"1
2
)n+1
…②…(10分)
②-①知∴class="stub"1
2
Tn=1+3[(class="stub"1
2
)2+(class="stub"1
2
)3+…+(class="stub"1
2
)n]-(3n-1)×(class="stub"1
2
)n+1

=1+3×
class="stub"1
4
[1-(class="stub"1
2
)
n-1
]
1-class="stub"1
2
-(3n-1)×(class="stub"1
2
)n+1
=class="stub"5
2
-3×(class="stub"1
2
)n-(3n-1)×(class="stub"1
2
)n+1
…(12分)
Tn=5-class="stub"3n+5
2n
…(13分)

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