已知等差数列{an}的公差大于0,且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根,数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=1-bn2(n∈N*).(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)若cn=

题目简介

已知等差数列{an}的公差大于0,且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根,数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=1-bn2(n∈N*).(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)若cn=

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已知等差数列{an}的公差大于0,且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根,数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=
1-bn
2
(n∈N*).
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)若cn=an•bn,设数列{cn}的前n项和为Tn,证明:Tn<1.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)因为a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根且等差数列{an}的公差大于0,
所以解得a2=3,a5=9,所以公差d=
a5-a2
5-2
=2
,所以an=a2+(n-2)d=2n-1.
当n=1时,b1=S1=
1-b1
2
,解得b1=class="stub"1
3

当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=class="stub"1
2
(bn-1-bn)

所以
bn
bn-1
=class="stub"1
3
(n≥2)
,所以数列{bn}是以b1为首项,公比q=class="stub"1
3
的等比数列,
所以bn=b1qn-1=(class="stub"1
3
)
n
=class="stub"1
3n

(2)由(1)知,cn=anbn=class="stub"2n-1
3n
,则数列{cn}的前n项和为Tn,
Tn=class="stub"1
3
+class="stub"3
32
+…+class="stub"2n-1
3n
  ①
class="stub"1
3
Tn=class="stub"1
32
+class="stub"3
33
+…+class="stub"2n-1
3n+1
 ②
①-②得class="stub"2
3
Tn=class="stub"1
3
+class="stub"2
32
+class="stub"2
33
+…+class="stub"2
3n
-class="stub"2n-1
3n+1

=class="stub"1
3
+
class="stub"2
32
[1-(class="stub"1
3
)
n-1
]
1-class="stub"1
3
-class="stub"2n-1
3n+1

整理得Tn=1-class="stub"n+1
3n+1
,因为n∈N•,所以class="stub"n+1
3n+1
>0

Tn=1-class="stub"n+1
3n+1
<1

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