已知函数f（x）=x2+2x，数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn（n，Sn）都在函数f（x）的图象上，且过点Pn（n，Sn）的切线的斜率为kn．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）

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已知函数f（x）=x²+2x，数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点P_n（n，S_n）都在函数f（x）的图象上，且过点P_n（n，S_n）的切线的斜率为k_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=2kn•an，求数列{b_n}的前n项和为T_n；
（Ⅲ）设Q={x|x=k_n，n∈N*}，R={x|x=2a_n，n∈N*}，等差数列{c_n}的任一项c_n∈Q∩R，其中c₁是Q∩R中的最小数，110＜c₁₀＜115，求{c_n}的通项公式．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）∵点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，
∴Sn=n2+2n．
当n=1时，a1=S1=3；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+2n-(n-1)2-2(n-1)=2n+1，
当n=1时，也满足．
故an=2n+1．
（Ⅱ）由f（x）=x2+2x求导可得，f′（x）=2x+2
∵过点Pn（n，Sn）的切线的斜率为kn，∴kn=2n+2．
又∵bn=2kn•an，
∴bn=22n+2•(2n+1)=4(2n+1)•4n．
∴Tn=4×3×4+4×5×42+4×7×43+…+4（2n+1）•4n…①
由①×4可得：4Tn=4×3×42+4×5×43+4×7×44+…+4（2n+1）•4n+1…②
①-②可得：-3Tn=4•[3×4+2•(42+43+…+4n)-（2n+1）•4n+1]
=4•[3×4+2•

42(1-4n-1)

1-4

-（2n+1）•4n+1]．
∴Tn=class="stub"6n+1

•4n+2-class="stub"16

．
（Ⅲ）∵Q={x|x=2n+2，n∈N*}，R={x|x=4n+2，n∈N*}
∴Q∩R=R，又∵cn∈Q∩R，其中c1是Q∩R中的最小数，
∴c1=6，∴c10=4m+6，m∈N*，（{cn}的公差是4 的倍数!）
又∵110＜c10＜115
∴

110＜4m+6＜115

m∈N*.

解得m=27．

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已知函数f（x）=x2+2x，数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn（n，Sn）都在函数f（x）的图象上，且过点Pn（n，Sn）的切线的斜率为kn．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）

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