首页 > 已知数列{an}中，a1=5且an=2an-1+2n-1（n≥2且n∈N*）．（1）若数列{an+λ2n}为等差数列，求实数λ的值；（2）求数列{an}的前n项和Sn．-数学

已知数列{an}中，a1=5且an=2an-1+2n-1（n≥2且n∈N*）．（1）若数列{an+λ2n}为等差数列，求实数λ的值；（2）求数列{an}的前n项和Sn．-数学

题目简介

已知数列{an}中，a1=5且an=2an-1+2n-1（n≥2且n∈N*）．（1）若数列{an+λ2n}为等差数列，求实数λ的值；（2）求数列{an}的前n项和Sn．-数学

题目详情

已知数列{an}中，a1=5且an=2an-1+2n-1（n≥2且n∈N*）．
（1）若数列{
an+λ
2n
}为等差数列，求实数λ的值；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：广州一模

答案

（1）方法1：∵a1=5，
∴a2=2a1+22-1=13，a3=2a2+23-1=33．
设bn=
an+λ
2n
，由{bn}为等差数列，则有2b2=b1+b3．
∴2×
a2+λ
22
=
a1+λ
2
+
a3+λ
23
．
∴class="stub"13+λ
2
=class="stub"5+λ
2
+class="stub"33+λ
8
．
解得 λ=-1．
事实上，bn+1-bn=
an+1-1
2n+1
-
an-1
2n
=class="stub"1
2n+1
[(an+1-2an)+1]=class="stub"1
2n+1
[(2n+1-1)+1]=1，
综上可知，当λ=-1时，数列{
an+λ
2n
}为首项是2、公差是1的等差数列．
方法2：∵数列{
an+λ
2n
}为等差数列，
设bn=
an+λ
2n
，由{bn}为等差数列，则有2bn+1=bn+bn+2（n∈N*）．
∴2×
an+1+λ
2n+1
=
an+λ
2n
+
an+2+λ
2n+2
．
∴λ=4an+1-4an-an+2=2（an+1-2an）-（an+2-2an+1）=2（2n+1-1）-（2n+2-1）=-1．
综上可知，当λ=-1时，数列{
an+λ
2n
}为首项是2、公差是1的等差数列．
（2）由（1）知，
an-1
2n
=
a1-1
2
+(n-1)×1，
∴an=(n+1)•2n+1．
∴Sn=(2•21+1)+(3•22+1)+…+(n•2n-1+1)+[(n+1)•2n+1]．
即Sn=2•21+3•22+…+n•2n-1+(n+1)•2n+n．
令Tn=2•21+3•22+…+n•2n-1+(n+1)•2n，①
则2Tn=2•22+3•23+…+n•2n+(n+1)•2n+1．         ②
②-①，得Tn=-2•21-(22+23+…+2n)+(n+1)•2n+1=n•2n+1．
∴Sn=n•2n+1+n=n•(2n+1+1)．

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