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已知函数f（x）=x2+（a-1）x+b+1，当x∈[b，a]时，函数f（x）的图象关于y轴对称，数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=f（n）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=an2n

题目简介

已知函数f（x）=x2+（a-1）x+b+1，当x∈[b，a]时，函数f（x）的图象关于y轴对称，数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=f（n）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=an2n

题目详情

已知函数f（x）=x2+（a-1）x+b+1，当x∈[b，a]时，函数f（x）的图象关于y轴对称，数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=f（n）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=
an
2n
，Tn=b1+b2+…+bn，若Tn＞m，求m的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵函数f（x）的图象关于y轴对称，
∴a-1=0，且a+b=0，解得a=1，b=-1，
∴Sn=n2，即有an=Sn-Sn-1=2n-1（n≥2）．
a1=S1=1也满足，
∴an=2n-1．（5分）
（2）由（1）得bn=class="stub"2n-1
2n
，
∴Tn=class="stub"1
21
+class="stub"3
22
+class="stub"5
23
+…+class="stub"2n-3
2n-1
+class="stub"2n-1
2n
，①
class="stub"1
2
Tn=class="stub"1
22
+class="stub"3
23
+…+class="stub"2n-5
2n-1
+class="stub"2n-3
2n
+class="stub"2n-1
2n+1
，②
①-②得class="stub"1
2
Tn=class="stub"1
2
+class="stub"2
22
+class="stub"2
23
+…+class="stub"2
2n-1
+class="stub"2
2n
-class="stub"2n-1
2n+1

=class="stub"1
2
+（class="stub"1
2
+class="stub"1
22
+class="stub"1
23
+…+class="stub"1
2n-1
）-class="stub"2n-1
2n+1

=class="stub"3
2
-class="stub"1
2n-1
-class="stub"2n-1
2n+1
，
∴Tn=3-class="stub"1
2n-2
-class="stub"2n-1
2n
=3-class="stub"2n+3
2n
．（9分）
设g（n）=class="stub"2n+3
2n
，n∈N+，
则由
g(n+1)
g(n)
=
class="stub"2n+5
2n+1
class="stub"2n+3
2n
=class="stub"2n+5
2(2n+3)
=class="stub"1
2
+class="stub"1
2n+3
≤class="stub"1
2
+class="stub"1
5
＜1，得g（n）=class="stub"2n+3
2n
（n∈N+）随n的增大而减小，
∴g（n）≤g（1），
即Tn≥3-class="stub"2+3
2
=class="stub"1
2
．
又Tn＞m恒成立，
∴m＜class="stub"1
2
．（12分）

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