已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足：an=b13+1+b232+1+b333+1+…+bn3n+1，求数列{b

题目简介

题目详情

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n（n+1）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足：an=

3+1

32+1

33+1

+…+

3n+1

，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）令cn=

anbn

（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和T_n．

题型：解答题难度：中档来源：资阳一模

答案

（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n（n+1）-（n-1）n=2n，
知a1=2满足该式，
∴数列{an}的通项公式为an=2n．（2分）
（Ⅱ）∵an=

3+1

32+1

33+1

+…+

3n+1

（n≥1）①
∴an+1=

3+1

32+1

33+1

+…+

3n+1

bn+1

3n+1+1

②（4分）
②-①得：

bn+1

3n+1+1

=an+1-an=2，
bn+1=2（3n+1+1），
故bn=2（3n+1）（n∈N*）．（6分）
（Ⅲ）cn=

anbn

=n（3n+1）=n•3n+n，
∴Tn=c1+c2+c3+…+cn=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）（8分）
令Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①
则3Hn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②
①-②得：-2Hn=3+32+33+…+3n-n×3n+1
=

3(1-3n)

1-3

-n×3n+1
∴Hn=

(2n-1)×3n+1+3

，…（10分）
∴数列{cn}的前n项和Tn=

(2n-1)×3n+1+3

n(n+1)

…（12分）

上一篇 : 数列{an}是公差不为0的等差数
下一篇 : 在等差数列{an}中，a1+a4=3，a6=5．（1

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足：an=b13+1+b232+1+b333+1+…+bn3n+1，求数列{b

题目简介

题目详情

答案

更多内容推荐