首页 > 数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=（1+cos2nπ2）an+sin2nπ2，n=1，2，3，…．（1）求a3，a4并求数列{an}的通项公式；（2）设bn=a2n-1a2n，Sn=b1+

数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=（1+cos2nπ2）an+sin2nπ2，n=1，2，3，…．（1）求a3，a4并求数列{an}的通项公式；（2）设bn=a2n-1a2n，Sn=b1+

题目简介

数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=（1+cos2nπ2）an+sin2nπ2，n=1，2，3，…．（1）求a3，a4并求数列{an}的通项公式；（2）设bn=a2n-1a2n，Sn=b1+

题目详情

数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=（1+cos2
nπ
2
）an+sin2
nπ
2
，n=1，2，3，…．
（1）求a3，a4并求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=
a2n-1
a2n
，Sn=b1+b2+…+bn．证明：当n≥6时，|Sn-2|＜
1
n
．
题型：解答题难度：中档来源：湖南

答案

（1）因为a1=1，a2=2，
所以a3=（1+cos2class="stub"π
2
）a1+sin2class="stub"π
2
=a1+1=2，
a4=（1+cos2π）a2+sin2π=2a2=4．
一般地，当n=2k-1（k∈N*）时，a2k+1=[1+cos2
(2k-1)π
2
]a2k-1+sin2
(2k-1)π
2
=a2k-1+1，即a2k+1-a2k-1=1．
所以数列{a2k-1}是首项为1、公差为1的等差数列，
因此a2k-1=k．
当n=2k（k∈N*）时，a2k+2=（1+cos2class="stub"2kπ
2
）a2k+sin2class="stub"2kπ
2
=2a2k．
所以数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，
因此a2k=2k．
故数列{an}的通项公式为
an=
class="stub"n+1
2
，n=2k-1(k∈N*)
2class="stub"n
2
，n=2k(k∈N*)

（2）由（1）知，bn=
a2n-1
a2n
=class="stub"n
2n
，
所以Sn=class="stub"1
2
+class="stub"2
22
+class="stub"3
23
+…+class="stub"n
2n
，①
class="stub"1
2
Sn=class="stub"1
22
+class="stub"2
23
+class="stub"3
24
+…+class="stub"n
2n^+
1，②
①-②得，class="stub"1
2
Sn=class="stub"1
2
+class="stub"1
22
+class="stub"1
23
+…+class="stub"1
2n
-class="stub"n
2n+1
=
class="stub"1
2
[1-(class="stub"1
2
)n]
1-class="stub"1
2
-class="stub"n
2n+1
=1-class="stub"1
2n
-class="stub"n
2n+1
，
所以Sn=2-class="stub"1
2n-1
-class="stub"n
2n
=2-class="stub"n+2
2n
．
要证明当n≥6时，|Sn-2|＜class="stub"1
n
成立，只需证明当n≥6时，
n(n+2)
2n
＜1成立．
（1）当n=6时，
6×(6+2)
26
=class="stub"48
64
=class="stub"3
4
＜1成立．
（2）假设当n=k（k≥6）时不等式成立，即
k(k+2)
2k
＜1．
则当n=k+1时，
(k+1)(k+3)
2k+1
=
k(k+2)
2k
×
(k+1)(k+3)
2k(k+2)
＜
(k+1)(k+3)
(k+2)•2k
＜1．
由（1）、（2）所述，当n≥6时，
n(n+2)
2n
＜1．
即当n≥6时，|Sn-2|＜class="stub"1
n
．

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