设数列{an}的前n项和为Sn，已知S1=1，Sn+1Sn=n+cn（c为常数，c≠1，n∈N*），且a1，a2，a3成等差数列．（1）求c的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）若数列{bn}是

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设数列{a_n} 的前n项和为S_n，已知S₁=1，

Sn+1

n+c

（c为常数，c≠1，n∈N^*），且a₁，a₂，a₃成等差数列．
（1）求c的值；
（2）求数列{a_n} 的通项公式；
（3）若数列{b_n} 是首项为1，公比为c的等比数列，记A_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，B_n=a₁b₁-a₂b₂+…+（-1）^n-1a_nb_n，n∈N^*．证明：A_2n+3B_2n=

（1-4ⁿ）．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵S1=1，

Sn+1

=class="stub"n+c

，
∴an+1=Sn+1-Sn=class="stub"c

Sn，-------------------------（2分）
∴a1=S1=1，a2=cS1=c，a3=class="stub"c

S2=class="stub"c

(1+c)．
∵a1，a2，a3成等差数列，
∴2a2=a1+a3，
即2c=1+

c(1+c)

，
∴c2-3c+2=0．---------------------------------------------------（5分）
解得c=2，或c=1（舍去）．-----------------------------------------------------------------（6分）
（2）∵）∵S1=1，

Sn+1

=class="stub"n+2

，
∴Sn=S1×

×…×

Sn-1

=1×class="stub"3

×class="stub"4

×…×class="stub"n+1

n-1

n(1+n)

（n≥2），-------------------（8分）
∴an=Sn-Sn-1=

n(1+n)

n(n-1)

=n（n≥2），------------------------------------------（9分）
又a1=1，∴数列{an}的通项公式是an=n（n∈N*）．-----------------------------------（10分）
（3）证明：∵数列{bn}是首项为1，公比为c的等比数列，
∴bn=cn-1．---------（11分）
∵A2n=a1b1+a2b2+…+a2nb2n，B2n=a1b1-a2b2+…-a2nb2n，
∴A2n+B2n=2（a1b1+a3b3+…+a2n-1b2n-1），①
A2n-B2n=2（a2b2+a4b4+…+a2nb2n），②
①式两边乘以c得　c（A2n+B2n）=2（a1b2+a3b4+…+a2n-1b2n）③
由②③得（1-c）A2n-（1+c）B2n=A2n-B2n-c（A2n+B2n）
=2[（a2-a1）b2+（a4-a3）b4+…+（a2n-a2n-1）b2n]
=2（c+c3+…+c2n-1）
=

2c(1-c2n)

1-c2

，
将c=2代入上式，得A2n+3B2n=class="stub"4

（1-4n）．-----------------------------------------（14分）
另证：先用错位相减法求An，Bn，再验证A2n+3B2n=class="stub"4

（1-4n）．
∵数列{bn}是首项为1，公比为c=2的等比数列，∴bn=2n-1．--------------（11分）
又是an=n（n∈N*），所以A2n=1×20+2×21+…+2n×22n-1①
B2n=1×20-2×21+…-2n×22n-1②
将①乘以2得：
2A2n=1×21+2×22+…+2n×22n③
①-③得：-A2n=20+21+…+22n-1-2n×22n=

1(1-22n)

1-2

-2n×22n，
整理得：A2n=4n（2n-1）+1-------------------------（12分）
将②乘以-2得：-2B2n=-1×21+2×22-…+2n×22n④
②-④整理得：3B2n=20-21+…+22n-1-2n×22n=

1(1-22n)

1-(-2)

-2n×22n=

1-4n

-2n×4n，（13分）
∴A2n+3B2n=class="stub"4

（1-4n）-----------------------------------------（14分）

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设数列{an}的前n项和为Sn，已知S1=1，Sn+1Sn=n+cn（c为常数，c≠1，n∈N*），且a1，a2，a3成等差数列．（1）求c的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）若数列{bn}是

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