首页 > 已知点（1，13）是函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f（n）-c，数列{bn}（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足：Sn-Sn-1=Sn+Sn-1

已知点（1，13）是函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f（n）-c，数列{bn}（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足：Sn-Sn-1=Sn+Sn-1

题目简介

已知点（1，13）是函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f（n）-c，数列{bn}（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足：Sn-Sn-1=Sn+Sn-1

题目详情

已知点（1，
1
3
）是函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f（n）-c，数列{bn}（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足：Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
（n≥2）．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若数列{cn}的通项cn=bn•(
1
3
)n，求数列{cn}的前n项和Rn；
（3）若数列{
1
bnbn+1
}前n项和为Tn，问Tn＞
1000
2009
的最小正整数n是多少？
题型：解答题难度：中档来源：惠州模拟

答案

（1）因为点（1，class="stub"1
3
）是函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象上一点，
所以f(1)=a=class="stub"1
3
，所以，f(x)=(class="stub"1
3
)x．
因为等比数列{an}的前n项和为f（n）-c，
所以a1=f(1)-c=class="stub"1
3
-c，
a2=[f（2）-c]-[f（1）-c]=(class="stub"1
3
)2-c-class="stub"1
3
+c=-class="stub"2
9
，
a3=[f（3）-c]-[f（2）-c]=(class="stub"1
3
)3-c-(class="stub"1
3
)2+c=-class="stub"2
27
．
又数列{an}成等比数列，所以，a1=
a22
a3
=
class="stub"4
81
-class="stub"2
27
=-class="stub"2
3
=class="stub"1
3
-c，所以c=1．
所以class="stub"1
3
-1=-class="stub"2
3
．
又公比q=
a3
a2
=
-class="stub"2
27
-class="stub"2
9
=class="stub"1
3

所以an=-class="stub"2
3
(class="stub"1
3
)n-1=-2(class="stub"1
3
)n．
由数列{bn}的前n项和满足Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
（n≥2）．
则(
Sn
-
Sn-1
)(
Sn
+
Sn-1
)=
Sn
+
Sn-1
  （n≥2），
又bn＞0，
Sn
＞0，所以
Sn
-
Sn-1
=1．
所以，数列{
Sn
}构成一个首项为1公差为1的等差数列，
则
Sn
=1+(n-1)×1=n，所以Sn=n2．
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，
满足b1=c=1．
所以，bn=2n-1(n∈N*)；
（2）由cn=bn(class="stub"1
3
)n=(2n-1)(class="stub"1
3
)n，
所以Rn=c1+c2+c3+…+cn=1×(class="stub"1
3
)1+3×(class="stub"1
3
)2+5×(class="stub"1
3
)3+…+(2n-1)×(class="stub"1
3
)n①
两边同时乘以class="stub"1
3
得：
class="stub"1
3
Rn=1×(class="stub"1
3
)2+3×(class="stub"1
3
)3+5×(class="stub"1
3
)4+…+(2n-3)×(class="stub"1
3
)n+(2n-1)×(class="stub"1
3
)n+1②
①式减②式得：
class="stub"2
3
Rn=class="stub"1
3
+2[(class="stub"1
3
)2+(class="stub"1
3
)3+(class="stub"1
3
)4+…+(class="stub"1
3
)n]-(2n-1)×(class="stub"1
3
)n+1

化简得：class="stub"2
3
Rn=class="stub"1
3
+2×
(class="stub"1
3
)2[1-(class="stub"1
3
)n-1]
1-class="stub"1
3
-(2n-1)×(class="stub"1
3
)n+1=class="stub"2
3
-
2(n+1)
3
×(class="stub"1
3
)n

所以Rn=1-class="stub"n+1
3n
．
（3）Tn=class="stub"1
b1b2
+class="stub"1
b2b3
+class="stub"1
b3b4
+…+class="stub"1
bnbn+1

=class="stub"1
1×3
+class="stub"1
3×5
+class="stub"1
5×7
+…+class="stub"1
(2n-1)(2n+1)

=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
3
)+class="stub"1
2
(class="stub"1
3
-class="stub"1
5
)+class="stub"1
2
(class="stub"1
5
-class="stub"1
7
)+…+class="stub"1
2
(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)
=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
2n+1
)=class="stub"n
2n+1
；
由Tn=class="stub"n
2n+1
＞class="stub"1000
2009
，得n＞class="stub"1000
9
，所以，满足Tn＞class="stub"1000
2009
的最小正整数为112．

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网