已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求数列{bn}的通项bn;(2)设数列{an}的通项an=loga(1+1bn)(其中a>0,且a≠1),记Sn是数列{an

题目简介

已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求数列{bn}的通项bn;(2)设数列{an}的通项an=loga(1+1bn)(其中a>0,且a≠1),记Sn是数列{an

题目详情

已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145.
(1)求数列{bn}的通项bn
(2)设数列{an}的通项an=loga(1+
1
bn
)(其中a>0,且a≠1),记Sn是数列{an}的前n项和.试比较Sn
1
3
logabn+1的大小,并证明你的结论.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)设数列{bn}的公差为d,由题意得
b1=1
10b1+
10(10-1)
2
d=145.

解得
b1=1
d=3.

所以bn=3n-2.
(2)由bn=3n-2,知
Sn=loga(1+1)+loga(1+class="stub"1
4
)++loga(1+class="stub"1
3n-2

=loga[(1+1)(1+class="stub"1
4
)(1+class="stub"1
3n-2
)],class="stub"1
3
logabn+1=loga
33n+1

因此要比较Sn与class="stub"1
3
logabn+1的大小,可先比较(1+1)(1+class="stub"1
4
)(1+class="stub"1
3n-2
)与
33n+1
的大小.
取n=1有(1+1)>
33•1+1

取n=2有(1+1)(1+class="stub"1
4
)>
33•2+1

由此推测(1+1)(1+class="stub"1
4
)(1+class="stub"1
3n-2
)>
33n+1
.①
若①式成立,则由对数函数性质可断定:
当a>1时,Sn>class="stub"1
3
logabn+1.
当0<a<1时,Sn<class="stub"1
3
logabn+1.
下面用数学归纳法证明①式.
(ⅰ)当n=1时已验证①式成立.
(ⅱ)假设当n=k(k≥1)时,①式成立,即
(1+1)(1+class="stub"1
4
)(1+class="stub"1
3k-2
)>
33k+1

那么,当n=k+1时,
(1+1)(1+class="stub"1
4
)(1+class="stub"1
3k-2
)(1+class="stub"1
3(k+1)-2
)>
33k+1
(1+class="stub"1
3k+1

=
33k+1
3k+1
(3k+2).
因为[
33k+1
3k+1
(3k+2)]3-[
33k+4
]3
=
(3k+2)3-(3k+4)(3k+1)2
(3k+1)2
=class="stub"9k+4
(3k+1)2
>0

所以
33k+1
3k+1
(3k+2)>
33k+4
=
33(k+1)+1

因而(1+1)(1+class="stub"1
4
)(1+class="stub"1
3k-2
)(1+class="stub"1
3k+1
)>
33(k+1)+1

这就是说①式当n=k+1时也成立.
由(ⅰ),(ⅱ)知①式对任何正整数n都成立.
由此证得:
当a>1时,Sn>class="stub"1
3
logabn+1.
当0<a<1时,Sn<class="stub"1
3
logabn+1.

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