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> 已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求数列{bn}的通项bn;(2)设数列{an}的通项an=loga(1+1bn)(其中a>0,且a≠1),记Sn是数列{an
已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求数列{bn}的通项bn;(2)设数列{an}的通项an=loga(1+1bn)(其中a>0,且a≠1),记Sn是数列{an
题目简介
已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求数列{bn}的通项bn;(2)设数列{an}的通项an=loga(1+1bn)(其中a>0,且a≠1),记Sn是数列{an
题目详情
已知数列{b
n
}是等差数列,b
1
=1,b
1
+b
2
+…+b
10
=145.
(1)求数列{b
n
}的通项b
n
;
(2)设数列{a
n
}的通项a
n
=log
a
(1+
1
b
n
)(其中a>0,且a≠1),记S
n
是数列{a
n
}的前n项和.试比较S
n
与
1
3
log
a
b
n+1
的大小,并证明你的结论.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)设数列{bn}的公差为d,由题意得
b
1
=1
10
b
1
+
10(10-1)
2
d=145.
解得
b
1
=1
d=3.
所以bn=3n-2.
(2)由bn=3n-2,知
Sn=loga(1+1)+loga(1+
class="stub"1
4
)++loga(1+
class="stub"1
3n-2
)
=loga[(1+1)(1+
class="stub"1
4
)(1+
class="stub"1
3n-2
)],
class="stub"1
3
logabn+1=loga
3
3n+1
.
因此要比较Sn与
class="stub"1
3
logabn+1的大小,可先比较(1+1)(1+
class="stub"1
4
)(1+
class="stub"1
3n-2
)与
3
3n+1
的大小.
取n=1有(1+1)>
3
3•1+1
,
取n=2有(1+1)(1+
class="stub"1
4
)>
3
3•2+1
,
由此推测(1+1)(1+
class="stub"1
4
)(1+
class="stub"1
3n-2
)>
3
3n+1
.①
若①式成立,则由对数函数性质可断定:
当a>1时,Sn>
class="stub"1
3
logabn+1.
当0<a<1时,Sn<
class="stub"1
3
logabn+1.
下面用数学归纳法证明①式.
(ⅰ)当n=1时已验证①式成立.
(ⅱ)假设当n=k(k≥1)时,①式成立,即
(1+1)(1+
class="stub"1
4
)(1+
class="stub"1
3k-2
)>
3
3k+1
.
那么,当n=k+1时,
(1+1)(1+
class="stub"1
4
)(1+
class="stub"1
3k-2
)(1+
class="stub"1
3(k+1)-2
)>
3
3k+1
(1+
class="stub"1
3k+1
)
=
3
3k+1
3k+1
(3k+2).
因为
[
3
3k+1
3k+1
(3k+2)
]
3
-[
3
3k+4
]
3
=
(3k+2)
3
-(3k+4)
(3k+1)
2
(3k+1)
2
=
class="stub"9k+4
(3k+1)
2
>0
,
所以
3
3k+1
3k+1
(3k+2)>
3
3k+4
=
3
3(k+1)+1
.
因而(1+1)(1+
class="stub"1
4
)(1+
class="stub"1
3k-2
)(1+
class="stub"1
3k+1
)>
3
3(k+1)+1
.
这就是说①式当n=k+1时也成立.
由(ⅰ),(ⅱ)知①式对任何正整数n都成立.
由此证得:
当a>1时,Sn>
class="stub"1
3
logabn+1.
当0<a<1时,Sn<
class="stub"1
3
logabn+1.
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(1)求数列{bn}的通项bn;
(2)设数列{an}的通项an=loga(1+
答案
解得
所以bn=3n-2.
(2)由bn=3n-2,知
Sn=loga(1+1)+loga(1+
=loga[(1+1)(1+
因此要比较Sn与
取n=1有(1+1)>
取n=2有(1+1)(1+
由此推测(1+1)(1+
若①式成立,则由对数函数性质可断定:
当a>1时,Sn>
当0<a<1时,Sn<
下面用数学归纳法证明①式.
(ⅰ)当n=1时已验证①式成立.
(ⅱ)假设当n=k(k≥1)时,①式成立,即
(1+1)(1+
那么,当n=k+1时,
(1+1)(1+
=
因为[
所以
因而(1+1)(1+
这就是说①式当n=k+1时也成立.
由(ⅰ),(ⅱ)知①式对任何正整数n都成立.
由此证得:
当a>1时,Sn>
当0<a<1时,Sn<