已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,且满足a2n=S2n-1,n∈N*.数列{bn}满足bn=1an•an+1,Tn为数列{bn}的前n项和.(I)求a1,d和Tn;

题目简介

已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,且满足a2n=S2n-1,n∈N*.数列{bn}满足bn=1an•an+1,Tn为数列{bn}的前n项和.(I)求a1,d和Tn;

题目详情

已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,且满足
a2n
=S2n-1,n∈N*
.数列{bn}满足bn=
1
anan+1
,Tn为数列{bn}的前n项和.
(I)求a1,d和Tn
(II)若对任意的n∈N*,不等式λTn<n+8•(-1)n恒成立,求实数λ的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(I)在
a2n
=S2n-1
中,令n=1,n=2,
a12=S1
a22=S3
,即
a12=a1
(a1+d)2=3a1+3d

解得a1=1,d=2,(3分)
an=2n-1.
bn=class="stub"1
anan+1
=class="stub"1
(2n-1)(2n+1)
=class="stub"1
2
(class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
),
Tn=class="stub"1
2
(1-class="stub"1
3
+class="stub"1
3
-class="stub"1
5
+…+class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1
)=class="stub"n
2n+1
.…(6分)

(II)(1)当n为偶数时,要使不等式λTn<n+8•(-1)n恒成立,
即需不等式λ<
(n+8)(2n+1)
n
=2n+class="stub"8
n
+17
恒成立.
2n+class="stub"8
n
≥8
,等号在n=2时取得.
∴此时λ需满足λ<25.(8分)
(2)当n为奇数时,要使不等式λTn<n+8•(-1)n恒成立,
即需不等式λ<
(n-8)(2n+1)
n
=2n-class="stub"8
n
-15
恒成立.
2n-class="stub"8
n
是随n的增大而增大,
n=1时2n-class="stub"8
n
取得最小值-6.
∴此时λ需满足λ<-21.(10分)
综合(1)(2)可得λ<-21
∴λ的取值范围是{λ|λ<-21}.(12分)

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